Pには、その存在がPAまたはZFCに依存しない言語が含まれていますか？（TCSコミュニティWiki）

回答：不明です。

質問は自然で開かれたもので、明らかに難しい質問です。質問は今コミュニティwikiです。

概要

この質問は、複雑度クラス属する言語を、$P$  これらの言語を受け入れる決定チューリングマシン（TM）とともに、2つの補完的なサブクラスに分割しようとしています。

• gnostic言語とTM（検証/理解するのに適している）、対
• 暗号化された言語とTM（検証/理解が不可能）。

定義：不可知論者対不可解な数、TM、および言語

公理フレームワークPAおよびZFC内で、次のようにgnosticと不可解なTuringマシンおよび言語を区別します。

D0は、   我々はと言う計算実数 $r$あるグノーシスそれはTMの非空のセットに関連付けられている場合に限っようにユニバーサルTM際、有効なコードを含ん数字の明示的なリストとしてPAで指定された各TMで、任意の精度のための$\epsilon\gt0$の入力として供給され、（ZFC）で証明可能各TM出力番号を停止$o$（ZFC）で証明可能満たすは、$r-\epsilon\lt o\lt r+\epsilon$。

備考   一部の計算可能な実数はグノーシスではないことが知られています（具体的な例については、jkffの質問「非構造的アルゴリズムの存在証明はありますか？」に対するRaphael Reitzigの回答を参照してください）。これらの計算可能なまだ厄介な数との格闘を避けるために、PAで明示的に列挙されたTMがランタイム指数を計算できるという制限が課されます（ZFCで暗黙的に指定されたTMとは対照的です）。詳細については、セクション「定義上の考慮事項（下記）」を参照してください。

ここで、複雑度クラス$P$は、（グノースティックな）ランタイム指数の下限が割り当てられない可能性のある不可解な言語のサブセットが含まれるという直感をキャプチャする定義を探します。

先を見越して、結論の定義（D5）は、計算的に不必要なエピ計算をオーバーレイすることにより、不可解な計算を（些細なことに）マスクする削減を回避する目的で作成された、正義的に不可解な決定TMのアイデアを指定します。この重要な定義の理論的根拠と出典については、「定義上の考慮事項」という見出しの下で説明 し、ティモシー・チョウ、ピーター・ショー、サショ・ニコロフ、およびルカ・トレビザンによるコメントの貢献を感謝します。

D1   、すべての入力文字列のための停止は、Mが呼び出されることチューリングマシンMを考えると不可解次の文は、少なくとも一つのグノーシス主義実数のための証明可能でも反駁もないときに限り  ：$r \ge 0$

ステートメント： Mのランタイムは、入力長nに関して${O}(n^r)$$n$

不可解ではないチューリングマシンは、グノーシスティックTMであると言います。

D2   決定チューリングマシンMは、Mが受け入れる言語Lがrより小さいgnosticランタイム指数を持つ他のTMによって受け入れられないように、gnosticランタイム指数rがある場合に  効率的であると言います  。$r$$r$

D3は、   我々は、言語Lがあると言う潜在それにより受け入れられるときに限り（）  少なくとも一つのチューリングマシンMは、それは効率的かつ不可解、かつ両方である（b）の  証明可能効率的グノーシスの両方でないTM L.を受け付け

D3を別の方法で表現すると、言語は、その言語を最も効率的に受け入れるTM自体が不可解である場合に、不可解です。

私たちが言う不可解ではない言語は、グノーシス言語です。

D4   暗号TMが受け入れる言語が暗号である場合、暗号TMは強力に暗号であると言います。

D5   強力に不可解なTMは、それが効率的である場合に標準的に不可解であると言います。

D5を別の方法で表現するために、すべての不可解な言語は、その言語を受け入れる最も効率的な意思決定TMである一連の標準的な不可解な意思決定TMによって受け入れられます。

尋ねられた質問

次の推測C0は自然であり、（明らかに）開いています。

C0   複雑度クラスPには、少なくとも1つの不可解な言語が含まれています。

3つの質問は、尋ねられQ1 - Q3：最初は、となっているが、

Q1は   ですC0の PAやZFCの推測独立しましたか？

C0が真であるという仮定の下で-ZFCで証明されるか、ZFCを補完する独立した公理として-さらに2つの質問が自然です。

Q2 Pの   少なくとも1つの不可解な言語を具体的に提示できますか？つまり、指定された長さまでのすべての単語を含む有限アルファベットの明示的な単語の辞書として展示できますか？もしそうなら、そのような辞書を展示してください。

Q3   少なくとも1つの標準的な暗号の決定TMを具体的に、つまりQ2の辞書のすべての単語を（多項式時間で）決定する物理的なチューリングマシンを構築するための有効な説明として提示できますか？そうである場合、そのようなチューリングマシンを構築し、それを使用して計算することにより、Q2の不可解な言語辞書を示します。

定義上の考慮事項

定義D0は、すべてのグノーシス実数が計算可能であることを意味しますが、一部の計算可能な実数はグノーシスではないことが知られています。例については、上の回答を参照MathOverflowによってミカエルCadilhacとライアン・ウィリアムズとのTCS StackExchangeによってラファエルReitzigを。より一般的には、定義D0〜D5は、非グノスティックランタイム指数への参照を除外するように作成されています。

TCS wiki「Pには理解できない言語が含まれていますか？」で説明されているように、定義D0〜D5は、すべての不可解な言語が標準的に不可解なTMによって受け入れられることを保証します。（また、現在の質問では、ウィキで使用されている「理解できない」という説明の少ない単語が「暗号の」という単語に置き換わっていることに注意してください）。

さらに、D3（a）およびD3（b）を考慮して 、標準的に不可解なTMを、同じ言語を確実に認識するgnostic TMに計算上自明な還元は存在しません。特に、D3（a）およびD3（b）は、Peter ShorおよびSasho Nikolovによるコメント、および独立してLuca Trevisanによるコメントで概説されたポリリミッター削減戦略を妨害し、Timothy Chowの多項式クロック削減戦略もすべて妨害します。同様に、計算的に余分なエピ計算をオーバーレイすることにより、不可解な計算をマスクします。

一般に、「グノースティック」と「不可解」の定義は、数学的に自明な削減に対してロバストになるように意図的に調整されています（これらの定義をさらに調整することが望ましい場合もあります）。

方法論的考察

ランスフォートノウのレビュー「P対NP問題の状況」では、複雑性理論における推測の独立性（またはその他）を確立する方法を調査しています。特に望ましいのは、Lanceがレビューする方法がQ1に答えるのに役立つ（またはしない）方法に関する提案です。

さらに多くの質問が自然であることは明らかです。たとえば、Hartmanis-Stearns Conjectureは、「不可解なリアルタイムマルチテープチューリングマシンが存在しますか？PAまたはZFCに依存しない（または存在しない）か？」

Zeilbergerタイプの考慮事項

した場合にはQ1が「はい」で答えている、その後のメンバーシップを決定神託 PAやZFCの外に存在し、したがって、現代の複雑性理論の重要な要素は、任意の正式なシステム内に存在することは知られていない（現時点では）です論理。 $P$

この点で、複雑性理論はほとんどの数学的分野とは一線を画しています。ドロン・ツァイルバーガーが最近の「意見125：アラン・チューリングが100歳になった今」で表現する懸念は、 、それは多くの善を行いましたが、多くの害もあります。

Zeilbergerの懸念を基準として、明示的な形を取るZ0    （！Q1  ）&&（！C0  以下の基準と同等です）：$\equiv$

Z0：  Zeilbergerの感性基準   複雑クラスの定義Pが   呼ばれZeilberger-賢明ですべての言語場合に限っPが証明可能グノーシス主義です。

現時点では、Stephen Cookの複雑度クラスPの定義   がZeilbergerに適しているかどうかは不明です。

動機付けの考慮事項

「グノーシス」と「不可解」の定義は、（最終的に）次のような推測を決定することを目的として作成されています。

C1   レッツとN Pは"のグノーシス主義の制約もPとN Pの RESP。その場合、P ' ≠ N P 'はPAまたはZFCで証明可能または反論可能です。$P'$$NP'$$P$$NP$$P' \ne NP'$

C2   （PAまたはZFCで明示的に証明されているように）$P' \ne NP'$

明らかにC2   C1であり、逆に（メタ）定理C1の証明が（より強力な）定理C2の証明への指針を提供する可能性があると考えられます。$\to$ 

全体的な動機は、グノーシスと不可解なTMと言語との適切に調整された区別のために、C1の証明、さらにはC2の証明が明らかになる可能性があり、おそらくよりはるかに困難で深い、期待/直感/希望ですあることの証明。 $P\ne NP$

ジュリス・ハートマニスは、この一連の調査を真剣に追求した最初の複雑性理論家の一人でした。たとえば、HartmanisのモノグラフFeasible Computations and Provable Complexity Properties（1978）を参照してください。

命名上の考慮事項

Oxford English Dictionary（OED）から：

• gnostic（adj）  知識に関するもの。認知; 知的   「彼ら（数字）は、重要で、グノーシス的で、投機的に存在しますが、動作的な方法では存在しません。」

• 不可解（adj）  すぐには理解できない。神秘的で謎めいた   「人類にとって有用な平凡なルールの代わりに、彼らは（哲学者たち）が破裂と暗黒の文を押し出します。」

どうやらMathematical Reviewは、これまで「グノーシス」という言葉をいかなる意味でも使用していなかったようです。ただし、Marcus Krachtの最近の記事「Gnosis」（Journal of Philosophical Logic、MR2802332）には注意が向けられています。これはOEDセンスを使用しています。

どうやらMathematical Reviewは、技術的な意味で「複雑な」という言葉を複雑性理論との関連で使用していません。ただし、Charles H. Bennettの記事「Logical Depth and Physical Complexity」（The Universal Turing Machine：A Half-Century Survey、1988）には次の箇所が含まれています。

オブジェクトに関連する別の種類の複雑さは、オブジェクトを考えると、それを説明するためにもっともらしい仮説を見つけるのが難しいことです。この種の複雑さを持つオブジェクトは「暗号」と呼ばれる場合があります。オブジェクトのもっともらしい起源を見つけることは暗号を解くようなものです。

自然性、開放性、難易度に関する考慮事項

これらの質問の自然性は、Juris HartmanisのモノグラフFeasible Computations and Provable Complexity Properties（1978）の論文を示しています。

「アルゴリズムの複雑さに関する結果は、正式に証明できる計算のプロパティのみを考慮すると、根本的に変化します。」

これらの質問のオープン性と難しさは、ランスフォートノウのレビュー「P対NP問題のステータス」（2009）の結論と広く一致しています。

「私たちの誰もP対NPの問題を本当に理解していない。私たちはこのますます複雑な問題の周りの層を剥がし始めたばかりだ」

Wikiガイダンス

特に求め定義的調整と証明戦略具体的質問に関連しているQ1-Q3と広くHartmanis型推測照明C1-C2を。

ここで尋ねている質問には根本的な根本的な難しさがあると思います（そして、あなたは理解できない言語についての関連する質問で尋ねました）。

大まかに言えば、あなたは言語を探しているようです$L$

が、ZFCはそれを知りません L ∈ P。$L\in P$$L\in P$

$L$$L$$L$$L$$L'$$L$$L$$L$$\phi(x)$$x\in L$$L$

$L$$P$$P$$L\in P$$L$

$L$$L$$L$

$x$$x$

$P$

$P\ne NP$$P$$P$$P$$P$$P$

Q1： $\:$いいえ
Q2：$\:$ はい、少なくとも2つのバイナリで

補題： $\:$ 少なくとも1である計算可能なランタイム指数を持つすべてのTMは、超越的です。

証明：
AとBを再帰的に不可分な集合とする。$\:$$M_0$$\:$$M_1$$\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$M_0$$M_1$$r_m$$\:m\in A\:$ D1のステートメントはtrue]および[if $\:m\in B\:$ D1の声明は偽です]。 $\;\;$$\langle r_0,r_1,r_2,r_3,...\rangle$$r_m$$\:$したがって、チューリングマシンは超越的です。


定義：
at-least-two-1s-in-binaryは、バイナリ
表現に少なくとも2つの1がある非負整数のセットです 。$\:$ （あなたは決して推測しなかったでしょう^ _ ^）

定義：
Mは、
その入力のバイナリ表現をスキャンし、少なくとも2つの1が見つかった場合は受け入れ、それ以外の場合は拒否するチューリングマシンです 。

明らかに、Mはat-least-two-1s-in-binaryを決定し、ランタイム指数1を持ち、ランタイム指数が小さい他のチューリングマシンもat-least-two-1s-in-binaryを決定しません。
ささいに、$\: 1\leq 1 \:$$1$$\;\;$補題では、Mは効率的で超越的です。
これらの平均値は、少なくとも2つのバイナリが超越しています。

したがって、TPCCCはPA（およびZFC）の定理であり
、少なくとも2つの1のバイナリは、具体的な超越言語です。

定義1：させる $x_n := 2 + \sum_{i=0}^n [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$$n$$x_n$$x_n$$x := 2 + \sum_{i=0}^\infty [1/2^i \mbox{ if $i$ encodes a proof that $\bf{ZF}$ is inconsistent, and 0 otherwise}]$

$x$$\bf{ZF}$

定義2：あらゆるグノスティックリアル $x > 1$$M'_x$$n$$N$$s$$N$$s$$|s|^x/\log(|s|)$$x$$M_x$$M'_x$$M_x$$M_x$$\mathcal O(|s|^y)$$y\ge x$$M_x$

$x$$M_x$$\mathcal O(|s|^2)$$x = 2$$\bf{ZF}$$\bf ZF$$\bf ZF$$M_x$$\bf ZF + Con(\bf ZF)$

$\bf ZF + \not Con(\bf ZF)$$\bf P$$\bf ZF$$\mathcal O(|s|^z)$$z$$\bf ZF$

$M_x$