値のテストと関数の計算の複雑さ

一般に、特定の入力で関数が特定の値を取るかどうかをテストする複雑さは、その入力で関数を評価するよりも簡単です。例えば：

• 非負の整数行列のパーマネントの評価は＃P-hardですが、そのようなパーマネントがゼロか非ゼロかはP（2部マッチング）でわかります

• 実数n個あり1は、。。。、a n、多項式∏ n i = 1（x − a i）が以下の特性を持っている（実際、n個の実数のほとんどのセットはこれらの特性を持っています）。与えられた入力xに対して、この多項式がゼロかどうかをテストするには、Θ （log n ）の乗算と比較が必要です（ゼロセットにはnがあるため、Ben-Orの結果による）$a_1,...,a_n$$\prod_{i=1}^{n}(x - a_i)$$n$$x$$\Theta(\log n)$$n$成分）、ただし、上記の多項式の評価には少なくともPaterson-Stockmeyerによるステップ。$\Omega(\sqrt{n})$

• ソートは必要との比較ツリー（も上の手順Ω （N ログN ）ベン-ORの結果によって、再び、実際の代数的意思決定ツリー上のステップ）が、テストのリストがソートされている場合にのみ使用し、N - 1つの比較。$\Omega(n \log n)$$\Omega(n \log n)$$n-1$

多項式がゼロであるかどうかをテストする（代数的）複雑性が、多項式を評価する複雑性と同等であることを示唆するのに十分な、多項式に関する一般的な条件はありますか？

問題の複雑さを事前に知ることに依存しない条件を探しています。

（明確化10/27/2010）明確にするために、多項式は入力の一部ではありません。つまり、関数の固定ファミリ$\{ f_n \}$（各入力サイズ（ビット長または入力数）ごとに1つ）が与えられた場合、言語/決定問題の 複雑さを比較したいということです関数{ f n$\{ X : f_n(X) = 0 \text{ where } n \text{ is the "size" of } X \}$評価の複雑さを伴うX }の「サイズ」です 。 $\{f_n\}$

明確化：多項式族の評価/テストの漸近的な複雑さについて尋ねています。例えば、（例えば、または環固定フィールド上Z）「永続的」とは、単一の多項式が、無限大家族ではない{ P E R M N：N ≥ 0 }ここで、P 、E 、R 、M 、Nの永久的ですN × Nそのフィールド（またはリング）上にマトリックス。$\mathbb{Z}$$\{perm_{n} : n \geq 0 \}$$perm_{n}$$n \times n$

上で、ゼロと評価のためにテストする「ほとんど」と同じ、以下の意味である：あなたには、いくつかの既約多項式かどうかをテストする決定木があるとfがゼロではないが。私たちはCを介して作業しているため、等しいかどうかのみをテストできますが、「<」はありません。それが質問の2番目の例との重要な違いです！ここで、典型的なパス、つまり、ほぼすべての入力がたどるパスを使用します（常に「≠」分岐をたどります）。さらに、多様体V （f ）のすべての要素の典型的な経路を取り ます。してみましょうvはこれら2つのパスが最初に別のブランチをとるれるノードであっても。ましょうH 1$\mathbb{C}$$f$$\mathbb{C}$$\not=$$V(f)$$v$は、2つのパスの共通プレフィックスに沿ってテストされる多項式です。以来、 V （fが）閉鎖され、全ての要素がその中に位置 V （F ）及びリーチ Vはまたにある V （時間M）。したがって、 f （x ）= 0の場合、 h iの 1つは xで消滅します。ヒルベルトのヌルステレンサッツを h 1 ⋯ h mに適用し、 f g $h_1,\dots,h_m$$V(f)$$V(f)$$v$$V(h_m)$$f(x) = 0$$h_i$$x$$h_1 \cdots h_m$いくつかの多項式のための Gへの互いに素その F。つまり、 fを計算していないときに、 f （x ）= 0であるかどうかを判断する際に、互いに素な gについて f gを計算する必要があります。$f g = h_1 \cdots h_m$$g$$f$$f$$f(x) = 0$$fg$$g$

Makowskiの「Feferman–Vaught Theoremのアルゴリズム的使用」はおそらく関連しています。彼は、グラフ上のMSOL定義可能な構造を合計することで多項式を定義し、グラフがツリー幅で制限されている場合に評価しやすいことを示しています。

これは、FPT以外のテスト/評価の複雑さの違いについてはあまり言いません。値のテストとは、特定のグラフ上の特定のMSO2式がtrueと評価されるように変数の設定が存在するかどうかを確認することを意味します。これは、SATのカウントの複雑さがSATの複雑さにどのように関係するかという問題に関連しているようです。

編集10/29 別の便利な概念は、均一困難ポイントプロパティを調べることです。このプロパティを持つ多項式は、すべての点で簡単に評価できるか、ほとんどすべての点で簡単に評価できません。Makowskiは、スライド46-52にいくつかの参照を提供しています-http : //www.cs.technion.ac.il/admlogic/TR/2009/icla09-slides.pdf

私は、多項式の評価という考え思い切ってするつもり中のF P固定プライム用のp（またはその、同じフィールドに制限係数を持つ任意の有限フィールド拡張する）あなたの基準に適合しますが。$q(x)$$\mathbb F_p$$p$

より具体的には、多項式を考えてみましょう。我々が知っている、X 2 = XにF 2、私たちは、入力として与えられたとき、任意の多項式が還元された形態に既にあると仮定すると、我々は、単にの考慮残っている：0 、1 、X 、X + 1の評価に応じとを0または1のいずれかのこれらの多項式は、最大2つの算術演算を取ります。$\mathbb F_2[x]$$x^2=x$$\mathbb F_2$$0,1,x,x+1$$0$$1$

同様の「固定数の算術演算による一定時間」ステートメントは、q = p n（pは素数）のにより一般的に適用されると考えています。nが修正されない場合、このステートメントは無効になることに注意してください$\mathbb F_q$$q=p^n$$p$$n$

質問を正しく理解しているかどうかはわかりませんが、光を当てようとします。

通常、特定の値で多項式を評価することは、特に多項式の表現が回路（一部の簡潔な表現）を介している場合、同一性テストよりも簡単です。ただし、評価だけで機能するランダム化されたIDテストアルゴリズム（シュワルツツィッペルが最も簡単です）がたくさんあります。

$n^{O(1)}$

$x_i \mapsto y^{2^i}$$\sum_{i\in S} \alpha_i y^{a_i}$$y^r - 1$$r$$r$$y^a$$y^b$$y^r - 1$$r$$a - b$$r$$\prod_{i,j\in S} (a_i - a_j)$$r$

ブラックボックスIDテストアルゴリズムには、さらに進歩があります。現在、そのほとんどは制限された深さ3の回路（変数の合計の積の合計）に立っています。（FWIW）このいくつかは、私のM.Sc論文の第3章と第4章でより詳細に言及されています。また、最近SaxenaとSeshadriによる改善も行われています。

$1-xy$$x$$y$$\mathbb{Z}[x_1,...,x_n]$$n$