量子計算-QMの仮定

Nielsen-Chuangの本から、量子計算全般について（独立した）学習を始めました。

量子力学の測定仮説で何が起こっているのか、私を助けてくれる人を見つけることができるかどうか尋ねたいと思いました。つまり、私は仮説に疑問を投げかけているのではありません。測定後のシステムの状態の値がどのようにM m / √になるかがわかりません$M_m/\sqrt{ <\psi|M_m^+ M_m|\psi> }$。

たとえその仮定が言っているように見えたとしても、なぜこの表現なのか本当に気まずいです。ここで尋ねることが理にかなっているかどうかはわかりませんが、これは何らかの理由でこれ以上読むことを妨げているように見えるものです。

これが「説明」であるかどうかはわかりませんが、うまくいけば有用な「説明」です。

射影測定よりも一般的には、常に演算子を測定します。（プロジェクターはこの特殊なケースです。）では、「オペレーターを測定する」とはどういう意味ですか？

さて、演算子はしばしば「観測可能な」物理量に対応します。たとえば、量子力学で最も重要なのはエネルギーです。しかし、（間接的に）角運動量、磁場のz成分など、他の量を測定することもできます。測定されているものは常に実数値の結果をもたらします。対照的に、「スピン+1/2」状態「スピン-1/2」で、または最初の励起エネルギーレベルで等、水素原子で基底状態とは対照的に）、各いえ演繹可能結果ある程度の確率で実現されます。

測定の各実数値の結果を部分空間に割り当てます。これを行う方法は、エルミート演算子、つまり、実固有値を異なる部分空間に関連付け、Hilbert空間全体に部分空間を合計する演算子を記述することです。プロジェクターはそのようなオペレーターで、実際の値は0と1です。すなわち、ベクトルが指定された部分空間（値1を与える）に属すること、またはそのオルソ補数（値0を与える）を記述すること。これらのエルミート演算子はオブザーバブルであり、固有空間はオブザーバブルが「明確な」値を持つものです。

しかし、固有ベクトルではなく、これらのオブザーバブルの「明確な」値を持たないベクトルはどうでしょうか？説明の説明のない部分は次のとおりです。それらを固有空間の1つに射影して、明確に定義された値を持つ固有ベクトルを取得します。どの投影法を適用するかはランダムに決定されます。確率分布は、おなじみのBornルールによって与えられます。

$$\Pr\limits_{|\psi\rangle}\bigl( E = c \bigr) \;=\; \langle \psi | \Pi_c | \psi \rangle \;,$$

ここで上プロジェクタであるC -eigenspace '観察可能量'のE（エルミート演算子で表される）。後測定された状態であり、いくつかの状態の投影へのいくつかの観察の固有空間A。もしそうならは測定前の状態ですは測定後の状態、は測定された「実際の結果」（つまり、測定前の状態が実際に投影された固有空間）であり、比例結果が得られます$\Pi_c$$A = \sum_c \; c \cdot \Pi_c$$|\psi\rangle$$| \psi_0 \rangle$$| \psi_1 \rangle$$\Pi_c$

$$| \psi_1 \rangle \;\propto\; \Pi_c | \psi_0 \rangle$$

今説明した投影規則によって。これが、式にプロジェクタが含まれている理由です。

一般的に、ベクトルは単位ベクトルではありません。別の単位ベクトルで測定後の状態を記述したいので、次のように再スケーリングする必要があります$| \psi'_1 \rangle = \Pi_c | \psi_0 \rangle$

$$\|\;|\psi'_1\rangle\;\| = \sqrt{\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle} = \sqrt{\langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle} \;,$$

これは、結果が事前に発生する確率の平方根です。そして、あなたの質問の式を回復し、

$$| \psi_1 \rangle \;=\; \frac{\Pi_c | \psi_0 \rangle}{ \sqrt{ \langle \psi_0 | \Pi_c | \psi_0 \rangle }} \;.$$

（この式が少し不器用だと思われる場合は、密度演算子で量子状態を表すと、見た目も感じも少し良くなることに注意してください。）

追加して編集：上記はPOVMの説明と解釈されるべきではありません。「正のオペレータ値の測定」より良い説明として見られる期待値測定観測種々のE _Cを収集{に  Eの_C  } _{C  ∈C}  。

Akash Kumarの質問にもう1つ答えます。量子力学の謎に取り組むための（特に学生にとって）良いアプローチは、最初に古典力学の謎に取り組むことです。

この点で、推奨される開始教科書（文庫で入手可能）は、ステファニーフランクシンガーの「対称性の対称性：穏やかな近代的導入」です...これは短く明確であるという利点があります（明示的に機能する120の問題を含む）シンプレクティック幾何学とリー群理論の主要な現代のアイデアを自信を持って受け入れます。

ここで重要なのは、20世紀初頭、量子力学と古典力学は2つの非常に異なる力学の理論のように思われたということです。しかし、「ハミルトニアン力学は位相空間の幾何学であり、位相空間はシンプレクティック多様体の構造を持っている」というウラジミールアーノルドの格言を真剣に受けとめ、「量子力学の教科書の扱いは、主に、技術的な利便性と本質的な要素である---状態の多様体、シンプレクティック構造、リーマン計量---この線形性を共有しないこと」である。 Troy Schillingの1996年の論文は、「

古典/量子ダイナミクスにこの統一幾何学的なアプローチは、古典力学のように見えることによって、主に成功し、より神秘的で量子力学は思え少ない神秘的な...と学生が、これは（多くの）一つであることを知ることが良い学習の実行可能なアプローチの両方の種類を力学。

まだ見ていないなら、スコット・アーロンソンの講義ノート「デモクリトス以来の量子コンピューティング」、特に講義9を強くお勧めします。彼らは私を非専門家として本当に助けてくれました。私は彼のプレゼンテーションをこことここの主要なポイントに蒸留しようとしました。

特定のクエリに関しては、Born Ruleを使用していくつかの簡単な例を計算し、Measurement Postulateが実際にどのように機能するかを確認できれば、直観を構築するのに役立つと思います。

「i番目の結果を測定する確率は、状態ベクトルのi番目の要素の振幅の2乗です-演算子の固有ベクトルへの基底の変更を行う場合」と考えるのが最も簡単です。

これは、量子力学は複素数の確率であるという直観ともきちんと結びついています-振幅の2乗が合計1になる必要があるためです。

量子コンピューティングを勉強している限り、Shorのアルゴリズムに関するこの議論もチェックしてください。

補遺。

質問の形式を再検討した後（たとえば、分母のM ^† M ---プロジェクターに十分な単一のオペレーターMとは対照的に）、ニールセンとチャウンのコピーを再確認した後、ここにいくつかの補足的な詳細があります。以前の回答ではカバーされていません。（長さのため、これを別の回答として投稿しています。これは以前の回答よりも「説明」が少ないと感じているためです。）

量子ビットXを測定する唯一の手段が間接的であると仮定します。つまり、補助器Aとの「弱い」相互作用によって、Aの測定が行われます。ある意味ではXを測定する方法として、これらについて話をしたいと思います。このような測定をXだけでどのように説明できますか？さて、初期状態のAを簡単に準備できると仮定します、Xをコントロール、Aをターゲットとして、次のような制御されたユニタリを実行します。$|+\rangle \propto |0\rangle + |1\rangle$

$$U \;=\; \left[\begin{matrix} \quad1\quad & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \quad1\quad & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\tfrac{\pi}{12}) & \sin(\tfrac{\pi}{12}) \\ 0 & 0 & -\sin(\tfrac{\pi}{12}) & \cos(\tfrac{\pi}{12}) \end{matrix}\right]$$

次に、Aを標準的に測定します（Aが測定結果を保存するようになりました）。これにより、Xの状態が次のように変換されます。

$\begin{align*} |\psi_0\rangle_X \;=&\; \alpha|0\rangle_X + \beta|1\rangle_X \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2}|0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \\\\\mapsto&\; \alpha |0\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac1{\sqrt 2} |0\rangle_A + \tfrac1{\sqrt 2}|1\rangle_A\bigr) \quad+\quad \beta |1\rangle_X \otimes \bigl(\tfrac{\sqrt 3}2|0\rangle_A + \tfrac12|1\rangle_A\bigr) \\\\=&\; \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\sqrt3\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |0\rangle_A \quad+\quad \bigl( \tfrac{\alpha}{\sqrt 2} |0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2} |1\rangle_X \bigr) \otimes |1\rangle_A \\\\\mapsto&\; \begin{cases} |\psi_1\rangle_X \otimes |0\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\sqrt 3\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |0\rangle_A & \;\text{for the result 0; or } \\ |\psi_1\rangle_X \otimes |1\rangle_A \;\;\propto\;\; \bigl(\tfrac{\alpha}{\sqrt 2}|0\rangle_X + \tfrac{\beta}{2}|1\rangle_X\bigr) \otimes |1\rangle_A & \;\text{for the result 1.} \end{cases} \end{align*}$

上記の方程式では、測定結果がcの場合、Xの最終状態はに比例することに$|\psi_1\rangle$$|\psi'_1\rangle = M_c |\psi_0\rangle$

$$M_0 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{\sqrt 3}{2} |1\rangle\langle 1|\;,\qquad M_1 \;=\; \tfrac{1}{\sqrt 2} |0\rangle\langle 0| + \tfrac{1}{2} |1\rangle\langle 1|\;;$$

また、測定結果を取得する確率がそれぞれの場合に。$\langle \psi'_1 | \psi'_1 \rangle \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle$

これは、射影測定を記述するのと同じ方法でXの変換を記述することに非常に近いです。しかし、これは意味のある測定のようなものですか？さて、この手順の複数の反復の結果に関する統計を行うことができ、Xが最初に標準ベースである場合、「0」の結果を取得するときにバイアスがあることに気付くでしょう。ときXは状態の初めである。測定結果がまたはように分布しているかどうかを区別するのに十分な回数サンプリングできる場合、キュービットが最初に状態にあるかどうかを高い確率で判断できます$|1\rangle$$(\frac12,\frac12)$$(\frac34,\frac14)$$|0\rangle$または状態。$|1\rangle$

確率式と更新式の射影式との類似性、および測定統計を使用して測定状態に関する情報を取得できるという事実は、「測定」という概念を一般化して、上記：1つ、2つ、またはそれ以上の演算子（実際には「クラウス演算子」、CPTPマップに関連付けられたオブジェクト）による可能性のある測定結果を記述し、結果をわずかに一般化されたBornルールで記述します$M_c$

$$\Pr\limits_{|\psi_0\rangle}(\text{result}=c) \;=\; \langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle \;,$$

ここで、は、測定と、次によって与えられる更新ルールに関連付けられたクラウス演算子です。$M_c$

$$|\psi_1\rangle \;=\; \frac{M_c |\psi_0\rangle}{\sqrt{\langle \psi_0 | M_c^\dagger M_c | \psi_0 \rangle}} \;.$$

確率を保存するため（少なくとも1つの測定結果が確実に発生するように）、必要です。これは、ニールセンとチャウンによって説明された、あなたの質問におけるより一般的な形式です。（再び、密度演算子で状態を記述するとき、これは少し良く見えます。）$\sum_c M_c^\dagger M_c = I$

一般的なコメント。

一般的に、我々はancilla（またはancillasの集まり）を導入することを任意の時間A、相互作用A量子ビット（または複数の量子ビットの登録）X一体的にA、その後に射影測定を行うA、これは測定のソートを生じさせますX ; 測定オペレータは、次いで、正半正定値演算子の一部集合によって記述することができるよう（もう一度確率が保存されるように）。$M_c$$\sum_c M_c^\dagger M_c \;=\; I$

より一般的な、弱い測定値は、変換の明示的な選択せずに、より密接にあなたが簡単に「抽象的」測定確率を記述することができPOVMs、に関連している、ここで説明オペレータ提供することで、使用できますし、可能これらは、確率を計算するためのBornルールにあります。上記と以前の回答の両方で言及したように、POVMは、システムに関する統計的に入手可能な情報を記述するものと見なすことができます。$M_c$$E_c = M_c^\dagger M_c$

このようにクラウス演算子の観点から（および上記の「測定結果レジスタ」Aの観点から）測定を考えると、測定の概念をCPTPマップの概念に組み込むことができます。これは私が楽しんでいるアイデアです。（ただし、これは分析の観点から物事を実際に変更するものではなく、CPTPマップにまだ慣れていない場合は心配する必要はありません）。

Kraus Operatorsに関するNiel de Beaudrapの回答は非常に良かった。ニールセンと荘テキストブックに関しては、1は、その後、第2章、第8章、と読むべきことに、この手段その後、介入の章を。

さらに、クラウス演算子表現には、リンドブラディアン演算子と呼ばれる無限の制限があります。大まかに言って、リンドブラディアン演算子は、クラウス演算子にとって、リー代数がリー群にとって何であるかということです。Carlton Cavesのオンラインノート「完全にポジティブなマップ、ポジティブなマップ、およびLindbladフォーム」は、この資料の大部分をカバーしています。

Kraus演算子ではなく、無限のLindbladian演算子のみを使用する利点は、Lindbladiansが非Hilbert量子状態空間に自然に引き戻されることです。これらには、量子化学および凝縮物性物理学で遍在的になりつつあるテンソルネットワーク状態空間が含まれます。さらに、プルバック技術は弦理論にも遍在しています。

現在、量子力学のこの幾何学的な非ヒルベルト記述を開発する教科書はありません...しかし、あるはずです！（上記の参考文献とともに）総合的にカバーする教科書は、主要なアイデアをカバーするJohn Lee "Smooth Manifolds"、Frenkel and Smit "Understanding Molecular Simulation：Algorithms to Applications"、およびKloeden and Platen "Numerical Solution of Stochastic Differential Equations。"

これが多くの読み物であることは事実です...そして、これが幾何学量子力学が学部レベルで教えられない理由です。ほとんどの大規模な実際の計算には当てはまらないにもかかわらず、大学生が量子力学系の状態空間が線形ベクトル空間であるという固定概念を獲得するのは非常に簡単であるため、これは残念です。

Natureが使用する状態空間に関して：誰も知らない-ローカル（タンジェント空間）量子線形性の実験的証拠はかなり強いが、グローバル（ヒルベルト空間）量子線形性の証拠はかなり弱い。特に、多くの教科書が量子線形性の証拠として保持している高精度分子ビーム量子力学実験は、低次元テンソルネットワーク状態空間で〜1/2 ^ {65}の必要な相対精度でシミュレートできます。ほぼ完全な動的シンプレクティビティがほぼ完全な動的線形性を置き換えます。

上記の理由により、おそらく21世紀の学生は、20世紀の教科書を完全に額面どおりに受け入れるべきではありません。しかし、本当に、21世紀の学生は他の方法でそれを望んでいますか？

上記は、量子システムのエンジニアが、幾何学的および代数的自然性を融合し、一般に古典的、量子、およびハイブリッドの動的システムに適用する数学ツールセットを採用するようになった方法です。

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編集の追加：実用的な量子シミュレーションへの幾何学的アプローチの実行可能性のテストとして、当社のQuantum Systems Engineering（QSE）Groupは、Charlie Slichterの古典的な教科書Principles of Magnetic Resonanceの第3章「磁気双極子広がりと偏光輸送の強化版剛体格子」。

この幾何学的な書き起こしは、当然のことながら、幾何学的ダイナミクスにおける複数の未解決の問題を指します。たとえば、MathOverflowの質問「量子力学シミュレーションでは、ポアソンブラケットの対称（リーマン）アナログは何ですか？」を参照してください。

まず、なぜオブザーバブルは演算子で表されるのですか？古典力学では、オブザーバブルは位相空間上の実数値関数です。システムからエネルギーや運動量などの値に関する情報を抽出しますが、それに影響したり干渉したりすることはありません。オブザーバーがシステムの一部である場合、測定は物理的なプロセスであり、システムの進化を変える可能性があります。有限で非無限の時間進化がユニタリである（つまり、全確率を保持する）ためには、微小の時間進化はエルミートでなければなりません。これがストーンの定理です。量子力学の演算子がエルミート的である理由を説明しています。

それが理にかなっている場合、式次の2つのことから得られます。$M\mid\psi\rangle / \sqrt{\langle\psi\mid M^\dagger M\mid\psi\rangle}$

• $M$は、オブザーバブルの測定プロセスの無限の時間発展を表します。の後継はあり、二重性により後継はです。$\mid\psi\rangle$$M\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid$$\langle\psi\mid M^\dagger$
• ノルムは、状態の合計確率です。前のポイントと組み合わせると、後継者の合計確率がます。平方根で割ると状態が正規化されます。$\langle\psi\mid\psi\rangle$$\langle\psi\mid M^\dagger \ M\mid\psi\rangle$

さて、古典力学と量子力学の両方を研究するために十分に開発された多くのフレームワークを理解するために必要な数学を学ぶよう生徒に奨励するために、量子仮説に関するアカシュ・クマールの質問に関連する追加の参考文献を提供します。

Nielsen-Chuangのテキストの続きから始めましょう。つまり、「定理：演算子-和表現における単一の自由」（Nielsen-Chuangのセクション8.2）から始めましょう。NielsenとChuangのテキストは、この定理の実用的な応用の1つが量子誤差補正の理論にあり、「量子誤差補正の十分な理解にとって重要」であると述べています。しかし、その後、ニールセン・チュアンのテキストは沈黙します。

ここでのスタック交換に関する（これまでの）回答は、この「単一の自由」を理解する上であまり役に立ちません。 （距離での不気味なアクション）量子力学。特に、この単一の自由度は、量子読み出し、量子エラー訂正、および量子暗号の鍵です。TCSの学生が量子力学を研究する主な理由の3つです。

さらに学ぶために、学生は何を読むべきですか？多くのオプションがあります（他にも独自の設定がある場合があります）が、ハワードカーマイケルの「量子光学の統計的手法：非古典的分野」、特に「量子軌道I- III」。

これらの3つの章で、カーマイケルのテキストは、ニールセン-チュアンのテキストが正式な仮定と定理としてエンコードするもの、つまり、さまざまな方法で射影測定（非射影測定）を「解明」する自由を物理的に動機付けます。物理的には、この自由は因果的に分離可能な宇宙に住んでいることを保証します。数学的には、この自由はすべての量子暗号とエラー修正の基礎です。

AFACIT、1993年にこの情報的な不変性を記述するために現在標準となっている「解く」という用語を発明したのはカーマイケル自身でした。それ以来、解明された文献は非常に大きくなりました。「量子」と「解明」のためのarxivサーバーの全文検索は762の写本を見つけます。変形スペル「解く」では、さらに612の原稿が検出されます（重複している可能性があります）。

もちろん、数学的ツールセットと量子解き出しに関連する物理的なアイデアを学ぶことは多くの仕事です。この苦労を返済するために、学生が合理的にどのような利益を期待できるかを尋ねることは合理的ですか？答えとして、1パラグラフのたとえ話があります。その主な長所は、2つの非常に長くて厳しい量子テキスト（Nielsen-ChuangとCarmichael）を読むよりも非常に短いことです。

むかしむかし、アリスという名前のユークリッド幾何学の学生は、「ユークリッドの長さの測定は実際にどのように機能するのですか？」ユークリッドの仮説では、アリスの質問に対する答えは次のとおりです。しかし、創造的な想像力の多大な努力により、アリスは同等のさらに一般的な答えを考えました：「すべての物理的な長さの測定は、シンプレクティックおよびメトリック形式と動的ポテンシャルを備えた多様体上の曲線である軌道に沿った速度の積分と同等です」アリスの古典力学の非ユークリッドフレームワークは学ぶべき多くの仕事でしたが、それは彼女の新しい科学、技術、

たとえ話の要点を明確にするために、アリスは古典的なダイナミクスの微分記述を受け入れ、ユークリッド空間の厳格な制約から解放されました。同様に、今日の量子学生は、解くダイナミクスの微分記述を受け入れるオプションを持っているため、ヒルベルト空間の厳格な制約から自由になります。

非ユークリッドの古典力学と同様に、非ヒルベルト量子力学は学ぶべき多くの仕事です---現在、すべての必要な材料をカバーする単一の教科書はありません-さらに、これらの新しい非ユークリッド/非ヒルベルト動的なフレームワークは、探索のための広大な新しい世界を開いています。これらの調査は、弦理論の謎から、化学および材料科学における効率的で検証済みの量子シミュレーションコードを書くというざらざらした課題にまで及びます。これらの領域のいずれかの研究では、学生に古典力学のユークリッドより深い理解と、量子力学のヒルベルトより深い認識の両方がすでに必要であることは明らかです。

これが、古典力学と量子力学の両方に関連する数学的課題と研究機会が、現在よりも大きくなったことがない理由です。どっちがいい！