「グラフは製品です」の複雑さ

この質問は純粋な好奇心から生じます（文字列をシャッフル解除することを考えているときに思いつきましたが、実際に関連しているかどうかはわかりません）。

さまざまなグラフ製品がありますが、ここではそれらに興味があります。グラフが自明でない製品と同型かどうかを判断する複雑さは何ですか？（確かにデカルト積についてK = K ◻ 1 1つの頂点を有するグラフです。）$K$$K = K \square 1$$1$

ウィキペディアの「因子グラフ」と「グラフ因子分解」のページを見ましたが、どちらも関連していないようです。この問題は別の名前で知られていますか？

Wilriched、Imrichの論文を確認してください。Iztok、Peterin、線形時間でのデカルト積の認識。Discrete Math。、307、3-5、Page：

多項式時間でいくつかのグラフ積を認識できます。いつものように、デカルト積が最も簡単であり、デカルトのケースは他のいくつかの製品のアルゴリズムの基礎でもあります。辞書編集製品（組成）の認識は、グラフ同型と同等です。

さらに詳細に：

してみましょう有限の簡単なグラフのクラスであり、Γ 0は自己ループを有することができる有限簡単なグラフのクラスです。（明らかに、Γ ⊂ Γ 0）。$\Gamma$$\Gamma_0$$\Gamma \subset \Gamma_0$

接続された入力グラフかどうかを決定する要因たΓ 0は場合デカルトと強い製品のための多項式時間で、また、直接製品に対して行うことができ、Gは、非二部です。GにΓの因子があるかどうかを判断するのは、デカルト積では多項式時間ですが、辞書式積では多項式時間になる可能性は低いです。Gが直接製品と強力製品のΓに因子を持っているかどうかを判断する状況はわかりません。$G$$\Gamma_0$$G$$G$$\Gamma$$G$$\Gamma$

ImrichとKlavžarからの関連結果：

定理4.10。n個の頂点とm個のエッジ上の連結グラフ場合、O （m ）空間を使用してO （m n ）時間のデカルト積に関する素因数分解を見つけることができます。$G$$n$$m$$O(mn)$$O(m)$

定理5.43。接続され、nonbipartiteグラフの素因数分解強い製品に対して接続された単純なグラフ直積へのに関しては、多項式時間で決定することができます。$\Gamma_0$

デカルト積の結果は、第7章で時間とO （m ）空間に改善されます。他の回答で指摘されているように、これはその後線形時間に改善されました。$O(m\log n)$$O(m)$

辞書編集製品の場合：

定理6.20。与えられた連結グラフが辞書式積に関して素数であるかどうかの決定問題は、少なくともグラフ同型問題と同じくらい難しい。

定理6.21。与えられた連結グラフが辞書式積に関して素数であるかどうかの決定問題は、それぞれのサイズもnの多項式であるグラフ同型問題の多項式数（）の解ほど難しくありません。$n$$n$

そのため、グラフが辞書編集製品に関して素数であるかどうかを判断することは、チューリング削減に関して、GRAPH ISOMORPHISMと同等です。

自己ループのない要因を持つ直接かつ強力な製品の場合は、私が調べた参考文献にはないようです。このケースについて議論している論文へのポインタ、またはなぜそれが面白くないかについてのヒントをいただければ幸いです。

• Wilfried ImrichおよびSandiKlavžar、製品グラフ：構造と認識。Wiley、2000。ISBN0-471-37039-8。

デカルト積に関して連結グラフの素因数を決定するための線形時間アルゴリズムがあります。ImrichとPeterinの論文をご覧ください。