コードレスの奇数サイクルの最小グラフ補完：NP困難ですか？

最近、私の研究で次の興味深い問題が浮上しました。

インスタンス：グラフ。 $G(V, E)$

【解決手段】A chordless奇数サイクルの完了、スーパーセットとして定義されるエッジ集合の完了グラフように内のすべてのエッジこと性質有する chordless奇数サイクル中に含有されます。 $E'$ $E$ $G'(V, E')$ $G'$

MEASURE：補完のサイズ、つまり。 $|E' - E|$

これまでのところ、この問題の修正版がNP完全であることを証明できました。「すべてのエッジがコードレスの奇数サイクルに含まれる」ことを要求する代わりに、「すべてのエッジが含まれる三角形（長さ3のサイクル）」。（これは最小弦グラフ補完問題と同等ではないことに注意してください。） $G'$

前者は後者の一般化であると簡単に見られますが、これまでのところ、それを証明するための私の努力はすべて失敗しました。誰でもポインタ/参照/などを思い付くことができますか？

— ガボール・レトヴァリ
ソース

問題は、奇数（反）ホール（長さが5以上のコードレス奇数サイクル）がある場合に限り、完全な完全グラフに非常に関連しているようです[ウィキペディアで詳細]。したがって、完全なグラフ上の質問の観点から質問を再定式化することをお勧めします。

— -vzn

@vzn：この強力な定理がここで助けになるかどうかわかりません。

— -domotorp

Pで、Gのすべてのエッジがコードレスの奇数サイクルに含まれているかどうかを判断できますか？これは可能だと思いますが、どうなるかわかりません。

— -domotorp

さて、2つの問題があります。簡単に、各エッジでコードレスの奇数サイクルにあるかどうかを判断できれば、Pで判断することになります。「グラフには、指定された頂点を通過する、3を超える長さの誘導された奇数サイクルが含まれていますか？」という質問を示す参照が見つかりました。「グラフには、2つの指定された頂点間の誘導された奇数パスが含まれていますか？」NP完全ですが、これらは私たちのケースを完全に解決しません。元の問題はNPにはないが、NPに困難がある可能性があります。

— ガボールRetvari

論文のどのセクションで上記の問題を定義するか、論文のどの部分を参照しているのかを示してください。に（「修正版NP完了」）

— -vzn

次の問題を減らすことにより、その決定形式でも問題がNP困難であることを証明します。つまり、「入力グラフすでにコードレスの奇数サイクル完了ですか？」 $G$

問題P：グラフが与えられるととエッジ、通過3よりも長さ以上のchordless奇数サイクルがある？ $G$ $e\in E(G)$ $e$

この問題はNP困難で「「指定されたノードを通過するchordless偶数サイクル検出」」から還元してあることが知られており、参照させることにより、セクション3の前の段落に記載されているコメントの一つに与えられと： $p=0$ $q=2$

余談として、聞かせておよび BEの任意の固定整数。次の問題はNP完全です。グラフは、長さ（mod ）の規定の頂点を通る誘導サイクルが含まれていますか？... $q>1$ $p\ge 0$ $G$ $u$ $p$ $q$

（Karpの削減があるかもしれませんが、Cookを許可する場合、次の削減を検討してください：適切な出力エッジを持つサイズdの完全なサブグラフに与えられた次数dノードを置き換える。問題Pを解決するオラクル。特定のノードを通過するコードレスの偶数サイクルは、完全なグラフのいずれかのエッジを通過する3を超える長さのコードレスの奇数サイクルに対応することに注意してください。

今、主な削減のために。問題Pのインスタンスが与えられた場合、最初にを通過する三角形があるかどうかを検出します。その場合、三角形を形成するすべてのノードを削除します。三角形を形成削除ノードことに注意してください通過する任意chordless奇数サイクル除去しないであろう（chordlessプロパティによって）。 $e$ $e$ $e$ $e$

次に、以外の各エッジに対して、補助ノードと2つのエッジおよびを追加します。新しいグラフには次の特性があることに注意してください。 $f$ $e=(u,v)$ $v_f$ $(v_f,u)$ $(v_f,v)$ $G'$

がコードレス奇数サイクル完了である場合にのみ、はを通過する3を超える長さのコードレス奇数サイクルを持ちます。 $G$ $e$ $G'$

if方向の場合のみ、異なるタイプのエッジを考慮することで証明できます。以外のすべてのエッジ（新しく追加されたエッジを含む）は、少なくとも1つの三角形（補助ノードを含む三角形）に含まれます。そしてでchordless奇数サイクルであろうが通過chordless奇数サイクルであるので、に、そしてサイクルは、ノード削除処理中に除去されません。 $G'$ $e$ $e$ $G′$ $e$ $G$

if方向では、以外のすべてのエッジが少なくとも1つの三角形内にある必要があるため、エッジについてのみ考慮する必要があります。通過chordless奇数サイクルがあるで（ chordless奇数サイクルの完了です）。構築により、サイクルの長さ3を持たせることはできません。また、サイクルには（コードレスプロパティによる）補助ノードを含めることができないため、グラフにも含まれます。したがって、証明は完了です。 $e$ $e$ $e$ $G'$ $G'$ $G'$ $G$

— Hsien-Chih Chang張顯之
ソース

いずれかの削減を追跡するのに問題があります。最初の縮約で、与えられたノードvの次数、たとえば5があれば、縮約後K_5になり、このK_5は奇数長のサイクルを含みますが、vを含む偶数長のサイクルには対応しません。主な削減は、G =（V、E）で、V = {1,2,3,4,5}、E = {12,23,34,45,15,35}、e = 34であるとします。Gにはeを通る長さ5のサイクルがありますが、G 'では、削減の定義を正しく理解していれば、エッジ34はブリッジであり、奇数サイクルに属していません。

— 伊藤剛

@剛：あなたのポイントを参照してください。問題Pでは、コードのない奇数サイクルを強制する必要があります。したがって、完全なグラフにはコードレスの奇数長サイクルは含まれず、

を通過するコードレスの奇数長サイクルには、サイクルのエッジを使用する

を通過する三角形はありません。答えを更新します。

e

$e$

e

$e$

— Hsien-Chih Chang張顯之

@ Hsien-ChihChang張顯之：主な削減に関する2番目のポイントについてはどうでしょうか。不注意に「

三角形を形成するすべてのノードを削除」すると、

から有効なコードレスの奇数サイクルが削除される可能性があります。そして別の質問：オリジナルのリファレンスは、「特定のノードを通過するコードレス奇数サイクルの検出」のNP完全性を証明しますが、「コードレス偶数サイクルの検出」フォームを使用しました。前者が後者を暗示することを静かに自分で証明したということですか？

e

$e$

G^{'}

$G'$

— ガボールRetvari

@ Hsien-ChihChang張顯之：とにかく：賞金はすぐに期限が切れ、私は私のコンピューターから離れるので、私は今あなたに価格を授与します。ご回答ありがとうございます。新しい方法で問題を考えるのに本当に役立ちました。後で戻って上記の問題を解決できる場合、私は最も感謝しています。

— ガボールRetvari

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

e

$e$

e

$e$

G^{'}

$G'$

e

$e$

G

$G$

— Hsien-Chih Chang張顯之