サブセットサムまたはNPPの整数関係検出？

整数関係の（小さな）解が答えを出すように、サブセット和または番号分割問題のインスタンスをエンコードする方法はありますか？間違いではない場合、いくつかの確率論的な意味で？

選択した数値の範囲が超える「低密度」領域でサブセット合計問題を解くのにLLL（およびおそらくPSLQ）が適度に使用されていることを知っていますが、これらの方法はうまくスケールしません選択された数値の範囲がよりもはるかに小さい場合、サイズが大きく、「高密度」領域で失敗するインスタンス。ここで、低密度と高密度はソリューションの数を指します。低密度領域とは、存在するソリューションがほとんどまたはまったくないことを指し、高密度は多くのソリューションがある領域を指します。 $2^N$ $2^N$

高密度領域では、LLLは指定されたインスタンス間で（小さな）整数の関係を見つけますが、インスタンスのサイズが大きくなると、関係が実行可能なサブセット和または数分割問題の解である確率が小さくなります。

整数関係の検出は最適な指数範囲内の多項式であるのに対して、サブセットサムとNPPは明らかにNP完全であるため、一般的にこれはおそらく不可能ですが、インスタンスがランダムに均一に描画される場合、これをより簡単にできますか？

または、この質問をするのではなく、計算の指数関数的な増加の代わりに最適な答えから指数関数の限界を減らす方法があるかどうかを尋ねるべきですか？

— user834
ソース

：私はクロスmathoverflowに投稿したので、私はどんな答えを得ていないたmathoverflow.net/questions/38063/...

— user834

これは非常に興味深い質問です。私も答えを待っています。基本的には、サブセット和またはNPPから整数関係への多項式時間の削減（ランダムかもしれません）を求めています。どのようにこのことについて、場合

あなたのサブセット和問題の対象であり、

で、正の整数の集合である

を満たすソリューション

。それぞれの場合、実際の係数は1に等しいとこれはまさに線形結合である

あなたが持っていることを

t = 0

$t=0$

S

$S$

S^{'}

$S'$

0 = \sum_{a \in S^{'}} a

$0=\sum_{a\in S'} a$

a_{i} \in S

$a_i \in S$

\sum_{i} a_{i} < 2^{n} - 1

$\sum_i a_i < 2^n-1$ 常に解決策があり、整数関係へのマッピングも解決策を提供します。

— マルコスヴィラグラ

@Marcos Villagra：あなたのコメントは少し解析しにくいです...サブセット和/数分割問題として問題を格子に埋め込むことができます（レビューはこちらを参照してください）、質問は係数をに制限する方法を見つけています必要なセット（0、1または-1、1など）。LLLは、小さな関係であっても整数の関係を見つけますが、係数として1つだけ2または3を使用すると、サブセットの合計/数パーティションの回答として無効になります。

— user834

mを最大数の対数とします。場合、それはダイナミック・プログラミングを用いて多項式時間で解けるあります。一般に、既知のアルゴリズムはすべて、少なくとも時間かかります。および場合、既知の多項式時間アルゴリズムはありません $m=O(\log n)$ $\Omega(2^{m})$ $m=\omega(\log n)$ $m=o(n)$

ただし、FlaxmanとPrzydatekは、予想される多項式時間における中密度サブセット和問題を解決するアルゴリズムを提供します。

このリファレンスを確認してください：

FlaxmanとPrzydatek、予想される多項式時間での中密度サブセット和問題を解く

— モハマドアルトルコキスタニー
ソース

この結果は、サブセット合計インスタンス内の数値を選択した場合よりも大幅に低い値を選択した場合のみです。私はlog（n）^ 2の数の範囲を選択しますが、私は2 ^ nの数の範囲で興味深いです。数値の範囲が非常に低く制限されており、この範囲を少し拡張しているように見える場合、サブセット合計を解決するためのよく知られたアルゴリズムがあります。ありがとう、結構です。

— user834