証明不能の意味

「P対NPは形式的に独立していますか？」と読んでいましたが、困惑しました。

複雑性理論では、であると広く信じられています。私の質問は、これが証明不可能な場合（Z F Cの場合など）についてです。（P ≠ N PがZ F Cから独立しているだけで、これがどのように証明されるかについてのさらなる情報はないことがわかっていると仮定しましょう。）$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$

この声明の意味は何ですか？すなわち、

硬度

仮定すると、効率的なアルゴリズム（捕捉コブハム-エドモンズ論文）及びP ≠ N Pは、我々は証明N Pを- H のR D N E S Sの結果は、彼らが我々の効率的なアルゴリズムが存在する範囲を超えていることを意味します。我々は、分離、証明場合N P - H のR D N E S Sない多項式時間アルゴリズムが存在しないことを意味します。しかし、N P - h a r d $\mathsf{P}$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{NP\text{-}hardness }$$\mathsf{NP\text{-}hardness}$分離が証明可能でない場合、結果は意味ですか？これらの結果はどうなりますか？$\mathsf{NP\text{-}hardness }$

効率的なアルゴリズム

分離の証明不可能性は、効率的なアルゴリズムの定義を変更する必要があることを意味しますか？

あなたの質問は、「P = NPが何らかの強力な公理系から形式的に独立しているという証拠の発見によって、複雑性理論がどのような影響を受けるか」という言い方をするとよいでしょう。

この質問に抽象的に答えるのは少し難しいです。つまり、証明の詳細が見えない場合です。アーロンソンが彼の論文で言及しているように、P = NPの独立性を証明するには、複雑性理論だけでなく、独立性ステートメントを証明する方法についても根本的に新しいアイデアが必要です。現在、私たちが推測することさえできないその根本的な突破の結果をどのように予測できますか？

それでも、私たちが行うことができるいくつかの観察があります。ZFC（およびZFC +大規模な枢機s）からの連続体仮説の独立性の証明をきっかけに、かなりの数の人々が連続体仮説が真でも偽でもないという観点に近づきました。独立証明の結果、P = NPが「真でも偽でもない」という結論に人々が同様に到達するかどうかを尋ねることができます（議論のために、P = NPはZFC +枢機a公理）。私の推測はそうではありません。アーロンソンは基本的にそうしないと言っています。Goedelの2番目の不完全性定理は、私が知っている誰もが「ZFCは一貫している」というのは真実でも偽でもないと主張するようにはなりませんでした。ステートメント、およびほとんどの人は算術ステートメント（または少なくとも「P = NP」と同じくらい単純な算術ステートメント）は真または偽でなければならないという強い直観を持っています。独立性の証明は、P = NPとP ≠ NPのどちらが当てはまるかを判断する方法がないと言っていると解釈されるでしょう。$\ne$

また、人々がこの状況を、PとNPの定義に「間違った」何かがあると言っていると解釈するかどうかを尋ねることもできます。おそらく、複雑な理論の基礎を、より扱いやすい新しい定義でやり直すべきでしょうか？この時点で、私たちは野生で実りのない憶測の領域にいると思います。そこでは、まだ到達していない橋を渡ろうとし、まだ壊れていないものを修正しようとしています。さらに、何が起こるかさえ明確ではありませんこのシナリオでは「壊れている」。セット理論家は、彼らが便利だと思う大きな枢機inal公理を仮定して完全に満足しています。同様に、複雑性理論家も、この仮説的な未来の世界では、たとえ証明不可能であるとしても、彼らが真実だと信じる分離公理を仮定して、完全に幸せになるかもしれません。

要するに、P = NPの独立性の証明からは論理的には何も続きません。複雑な理論の顔は、このような素晴らしいブレークスルーに照らして根本的に変わるかもしれませんが、ブレークスルーがどのように見えるかを待つだけです。

たぶん少し残念な言い方をしたとしても、これは有効な質問です。私が与えることができる最良の答えは、このリファレンスです：

スコットアーロンソン：P対NPは正式に独立しています。理論計算機科学のための欧州連合の会報、2003、vol。81、109-136ページ。

要約：これは、タイトルの質問に関する調査であり、（著者のように）ロジックを禁止、難解であり、通常の懸念から遠いものと見なす人々のために書かれています。Zermelo Fraenkel集合論のクラッシュコースから始まり、Oracleの独立性について説明します。自然な証拠; Razborov、Raz、DeMillo-Lipton、Sazanovなどの独立した結果。そして、強力な論理理論とは無関係にP対NPを証明することへの障害。最後に、数学的な質問に明確な答えがあると予想されるときの哲学的な考察で終わります。

$[ZFC][1]$。それは単に、理論が声明も否定も証明できないことを意味します。声明に真理値がないという意味ではなく、声明の真理値を知ることができないという意味ではなく、理論を十分に強力にする新しい合理的な公理を追加できる可能性がある声明またはその否定を証明する。最後に、理論の証明可能性は正式な抽象的な概念です。これは、モデルとしての実世界での経験にのみ関連しています。

$\mathsf{P}$

$\Sigma_1$$\Pi_1$ロジックによるトポロジ」、1996年。

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\Sigma_2$、およびFOMメーリングリストの投稿を検索します。

このペーパーで証明されているように：

http://www.cs.technion.ac.il/users/wwwb/cgi-bin/tr-get.cgi/1991/CS/CS0699.revised.pdf

P！= NPがペアノ算術から独立していることが示される場合、NPは非常に多項式に近い決定論的な時間の上限を持ちます。特に、このような場合には、入力長の無限に多くの巨大な間隔でSATを正しく計算するDTIME（n ^ 1og *（n））アルゴリズムがあります。

これについてのとりとめのない考え。気軽に批判してください。

Q = [証明できない（P = NP）と証明できない（P / = NP）]とします。矛盾をQと仮定します。また、P対NPに関するすべての既知の発見がまだ実行可能であると仮定します。特に、すべてのNP問題は、多項式時間でそれらの1つを解くことができれば、多項式時間で他のすべてを解くことができるという意味で同等です。したがって、WをNP完全問題にします。Wは、NPのすべての問題を等しく表します。Qのため、多項式時間でWを解くアルゴリズムAを取得することはできません。そうでなければ、P = NPであるという証明があり、これはQ（1）（*）と矛盾します。すべてのアルゴリズムは定義により計算可能であることに注意してください。Aが存在できないということは、多項式時間でWを計算する方法がないことを意味します。しかし、これはQ（2）と矛盾します。（1）xorまたは（2）を拒否します。どちらの場合も矛盾につながります。したがって、Qは矛盾しています。

（*）「Aha！Aは存在するかもしれませんが、見つけることができません」と言うかもしれません。Aが存在する場合、空のプログラムから始めて小さなプログラムから大きなプログラムに列挙することにより、すべてのプログラムを列挙してAを見つけることができます。Aはアルゴリズムであるため有限である必要があり、Aが存在する場合、それを見つけるための列挙プログラムは終了する必要があります。