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ビンがあり、i番目のビンにはi個のボールが含まれています。ボールを持っているn個の色がある私の色のボールを私は。ましょう、M = Σ N iは= 1のI。nnn私私ia私a私a_innna私a私a_i私私im=∑ni=1aim=∑i=1naim=\sum_{i=1}^n a_i スワップとは、あるビンからボールを​​取り、別のビンからボールと交換することです。各ビンに同じ色のボールのみが含まれるように、最小数のスワップが必要です。 私は簡単な特殊なケースを知っている私 ≤ 2すべてのための私を。（すべてのiについてa i = 2の場合、各ボールを最大で1回交換することでもできます。）ai≤2ai≤2a_i\leq 2iiiai=2ai=2a_i=2iii 編集：見つけることはNP困難なので、これは間違っています。c(D)c(D)c(D) どの色がどのビンに行くかがわかれば、問題は簡単です。 複数の有向グラフ、V = { v 1、… 、v n }を考えます。色iがビンb （i ）に行くことがわかっている場合、ビンjが色iのk個のボールを含む場合、Aにはk個の平行な弧（j 、b （i ））がありますD=(V,A)D=(V,A)D=(V,A)V={v1,…,vn}V={v1,…,vn}V=\{v_1,\ldots,v_n\}iiib(i)b(i)b(i)kkk(j,b(i))(j,b(i))(j,b(i))AAAjjjkkkiii。グラフの各コンポーネントはオイラーです。必要なスワップの最小数は。ここで、c （D ）はAをカバーするアーク独立サイクルの数です。オイラー回路を「フォロー」することで交換できます。（最小サイクルのアークを使用したスワップは、それをより小さな最小サイクルと自己ループに変更できます）。グラフ全体が自己ループのセットになったら、必要なすべてのスワップを作成しました。m−c(D)m−c(D)m-c(D)c(D)c(D）c(D)AAA 一般にこの問題はどれほど難しいですか？

13 algorithms  complexity-theory  balls-and-bins 

少なくともボールが含まれるビンは、fullと呼ばれます。私たちの目標は、できるだけ多くのビンをいっぱいにすることです。kkk 最も単純なシナリオでは、ボールが与えられ、それらを任意に配置できます。その場合、明らかにできることは、 binを任意に選択し、それぞれにボールを入れることです。nnn⌊n/k⌋⌊n/k⌋\lfloor n/k \rfloorkkk 次のシナリオに興味があります組のボールが与えられます。各ペアの2つのボールを2つの異なるビンに入れる必要があります。その後、敵が来て、各ペアから1つのボールを削除します。削除後に最大数のフルビンを確保するにはどうすればよいですか？nnn 簡単な戦略は、ビンのペアを選択することです。各ビンのペアをボールペアで満たします（各ビンにはボールがあり、各ペアから1つのボールがあります）。次に、敵が何を削除したかに関係なく、各ビンペアに少なくとも1つのフルビンがあります。⌊n/(2k−1)⌋⌊n/(2k−1)⌋\lfloor n/(2k-1) \rfloor2k−12k−12k-12k−12k−12k-1 より多くのフルビン（）を達成する戦略はありますか？⌊n/(2k−1)⌋⌊n/(2k−1)⌋\lfloor n/(2k-1) \rfloor

12 combinatorics  balls-and-bins