ボールのペアでビンを埋める

少なくともボールが含まれるビンは、fullと呼ばれます。私たちの目標は、できるだけ多くのビンをいっぱいにすることです。 $k$

最も単純なシナリオでは、ボールが与えられ、それらを任意に配置できます。その場合、明らかにできることは、 binを任意に選択し、それぞれにボールを入れることです。 $n$ $\lfloor n/k \rfloor$ $k$

次のシナリオに興味があります組のボールが与えられます。各ペアの2つのボールを2つの異なるビンに入れる必要があります。その後、敵が来て、各ペアから1つのボールを削除します。削除後に最大数のフルビンを確保するにはどうすればよいですか？ $n$

簡単な戦略は、ビンのペアを選択することです。各ビンのペアをボールペアで満たします（各ビンにはボールがあり、各ペアから1つのボールがあります）。次に、敵が何を削除したかに関係なく、各ビンペアに少なくとも1つのフルビンがあります。 $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$ $2k-1$ $2k-1$

より多くのフルビン（）を達成する戦略はありますか？ $\lfloor n/(2k-1) \rfloor$

combinatorics balls-and-bins

— エレル・セガル・ハレビ
ソース

信じられない

— ザックソーサー

n

$n$ が与えられ、が与えられますか？は依存しますか？

k

$k$

k

$k$

n

$n$

— 悪

@EvilJS

n

$n$ と

k

$k$ が与えられ、独立しています。

— エレルシーガルハレビ

プレーヤーは

n

$n$ 組のボールをすべて配置してから敵が

n

$n$ ボールを選ぶか、またはプレーヤーがボールの組を配置してから敵がそのペアから1つを選択してからプレーヤーが次のペアを置き、敵が選ぶ配置するボールのペアがなくなるまで1つなど？

— ロティア

@rotiaプレーヤーはn組のボールをすべて配置し、敵はn個のボールを選びます。

— エレルシーガルハレビ

TL; DR-いいえ、単純な戦略ほど優れた戦略はありません。 これが証明の主なアイデアです。十分なボールがない場合、 $k$ フルビンから最大で $k-2$ 個のボールがあるビンへの「ボールパス」があります。敵はボールをそのフルビンからそのパスに沿ってより少ないフルビンに渡すことができます。これは、 $k$ フルビンの数が減るまで繰り返し行うことができます。

グラフ理論の再定式化

我々は、単純な有限のグラフで示されていると仮定機能を有する。エッジ個のボールがあると言います。してみましょう（エンドマークエッジ）も集合。もしを満たします $G(V,E)$ $w: E\to\Bbb Z_{\ge 0}$ $w(e)$ $e$ $E_2$ $\{(e,v)| e\in E, v\in e\}$ $d:E_2\to\Bbb Z_{\ge 0}$ すべてのエッジに対して、は分布であると言います。任意関数-distributing我々は同じ記号、使用誘導関数、、 $w(e)=d(e,v_1) + d(e,v_2)$ $e=\{v_1,v_2\}$ $d$ $w$ $w$ $d$ $d:V\to\Bbb Z_{\ge 0}$ 。私たちは、と言うボールが中にある。所与、聞かせての数によって-full頂点。 $d(v) =\sum_{v\in e}d(e,v)$ $d(v)$ $v$ $k\in\Bbb Z_{\gt0}$ $F_k(d)=\#\{v\in V|d(v)\ge k\}$ $k$ $d$

任意の単純な有限のグラフの（Erel-APASS定理）および、我々は $G(V,E)$ $w:E\to\Bbb Z_{\ge0}$ $\sum_{e\in E}w(e)\geq (2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)$

各頂点がビンであると想像してください。各エッジ、ボールペアがとに入れられ、それぞれがボールを取得します。これらのボールペアのうち、敵はとからボールを奪う可能性があります。 $e=\{v_1,v_2\}$ $w(e)$ $v_1$ $v_2$ $w(e)$ $w(e)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ ボール。最終結果は、最初にすべての空のビンが与えられた場合、各エッジ、ボールがそれに入れられ、およびボールは、敵によってそれぞれと分配されます。したがって、Erel-Apassの定理によれば、 $d(e,v_1)$ $v_2$ $e=\{v_1, v_2\}$ $w(e)$ $d(e,v_1)$ $d(e,v_2)$ $v_1$ $v_2$ スマートな敵の除去後の kフルビン、少なくともペアのボールが必要です。 $t$ $(2k-1)t$ 別の言い方をすると、可能な限り最大数のビンを残しておく最適な戦略は、「単純な戦略」であり、繰り返しの十分なボールがなくなるまで、異なるペアのビンをボールペアで繰り返し埋めます。。 $2k-1$

定理の証明

矛盾を避けるために、およびを、すべての反例の中で頂点の数が最小の反例とします。つまり、分布関数すべてのの中でが最小になるような分布があります。また、 $G(V,E)$ $w$ $w$ $m$ $F_k(m)$ $F_k(d)$ $w$ $d$

\sum_{e \in E} w (e) < (2 k - 1) F_{k} (m)

$\sum_{e\in E}w(e)\lt (2k-1)F_k(m)$

レッツ。レッツ。そう。 $V_s=\{v\in V | m(v)\le k-2\}$ $V_\ell=\{v\in V|m(v)\geq k\}$ $F_k(m)=\#V_\ell$

クレーム1：。 $V_s\neq\emptyset$
クレーム1の証明。そうでなければ、が空であると仮定します。 $V_s$ も再利用おう関数としてのとようにのための任意の。

\sum_{v \in V} m (v) = (k - 1) # V + \sum_{v \in V} (m (v) - (k - 1)) \geq (k - 1) # V + # V_{ℓ} > (k - 1) # V

$\sum_{v\in V}m(v)= (k-1)\#V +\sum_{v\in V}(m(v)-(k-1)) \ge (k-1)\#V + \#V_\ell \gt (k-1)\#V$

w

$w$

V

$V$

Z_{\geq 0}

$\Bbb Z_{\ge 0}$

w (v) = \sum_{v \in e} w (e)

$w(v)=\sum_{v\in e}w(e)$

v \in V

$v\in V$

だから頂点が存在しなければならない

ように

。

\begin{aligned} \sum_{v \in V} w (v) & = \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} w (e) = \sum_{e \in E} 2 w (e) = 2 \sum_{e \in E} w (e) \\ = 2 \sum_{e \in E} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} \sum_{v \in e} m (e, v) = 2 \sum_{v \in V} m (v) \\ > 2 (k - 1) # V \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{v\in V}w(v) &=\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }w(e) =\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}w(e) =\sum_{e\in E}2w(e) =2\sum_{e\in E}w(e)\\ &=2\sum_{e\in E }\sum_{v\in e}m(e,v) =2\sum_{v\in V}\sum_{v\in e }m(e,v) =2\sum_{v\in V}m(v)\\ &\gt 2(k-1)\#V \end{align}$

b

$b$

w (b) \geq 2 k - 1

$w(b)\ge 2k-1$

誘導されたセットアップおよび考えます。ここで、、は誘導グラフおよび。任意の分布関数 $G'(V', E')$ $w'$ $V'=V\setminus\{b\}$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ 、我々はそれを拡張することができる -distributing関数と同じである上のながらすべてのエッジのためにに隣接。なお、以降 $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ $d'$ $E'$ $d_{d'}(e, b)=w(e)$ $e$ $b$ $F_k(d_{d'})= F_k(d') + 1$ 。そして、 $d_{d'}(b)=\sum_{b\in e}d_{d'}(e,b) = \sum_{b\in e}w(e)=w(b)\ge 2k-1\ge k$ したがって、及び反例である頂点の数の頂点の数よりも少ない。とについての仮定では、それは成り立ちません。したがって、クレーム1が証明されています。

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) - w (b) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) - (2 k - 1) \\ = (2 k - 1) (min_{w -distributing d} F_{k} (d) - 1) \\ \leq (2 k - 1) (min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) - 1) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e) - w(b)\\ &\lt (2k-1)F_k(m) -(2k-1)\\ &=(2k-1) \left(\min_{w\text{-distributing }d}F_k(d) -1\right)\\ &\le (2k-1) \left(\min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})-1\right)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

任意の頂点のための、規定頂点から-reachable パスがある場合、ように。してみましょう $v$ $v$ $d$ $u$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ 。 $V_r=V_\ell\cup \{v\in V|\exists u\in V_\ell \text{ and } v\text{ is } m\text{-reachable from } u \}$

クレーム2： $V_r = V$
クレーム2の証明：ます。任意の頂点のための及び、我々は到達できないので、から場合、エッジである場合、誘起セットアップ検討 $V_r\neq V$ $v\in V_r$ $u\notin V_r$ $u$ $v$ $\{v, u\}$ $w(\{v, u\}, v) = 0.$ 及び、、誘導されたグラフであるおよび。任意の分布関数、それを分布関数に拡張できます。ここで $G'(V', E')$ $w'$ $v'=V_r$ $G'(V', E')$ $G[V']$ $w'=w|_{E'}$ $w'$ $d'$ $w$ $d_{d'}$ $d_{d'}$ 同じである上のと同じ他のエッジに。なお、のない未満を有するすべての頂点ので、ボールが内側にある。そして、 $d'$ $E'$ $m$ $F_k(d_{d'})= F_k(d')$ $k$ $V_\ell\subset V_r$ したがって、およびは、頂点の数が。とについての仮定では、それは真実ではありません。したがって、クレーム2が証明されます。

\begin{aligned} \sum_{e \in E^{'}} w^{'} (e) & \leq \sum_{e \in E} w (e) \\ < (2 k - 1) F_{k} (m) \\ = (2 k - 1) min_{w -distributing d} F_{k} (d) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d_{d^{'}}) \\ \leq (2 k - 1) min_{w^{'} -distributing d^{'}} F_{k} (d^{'}) \end{aligned}

$\begin{align}\sum_{e\in E'}w'(e)&\le\sum_{e\in E}w(e)\\ &\lt (2k-1)F_k(m)\\ &=(2k-1) \min_{w\text{-distributing }d}F_k(d)\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d_{d'})\\ &\le (2k-1) \min_{w'\text{-distributing }d'}F_k(d') \end{align}$

G^{'} (V^{'}, E^{'})

$G'(V', E')$

w^{'}

$w'$

G

$G$

G (V, E)

$G(V,E)$

w

$w$

ここで定理を証明しましょう。

$V_r=V$ $V_s\neq\emptyset$ $u_0= u, u_1, u_2, \cdots, u_m, u_{m+1}=v$ $m\ge0$ $m(u)\gt k$ $m(v)\leq k-2$ $d(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i)>0$ $w$ $r(m)$ $m$

r (m) (e, u) = {\begin{cases} m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) - 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i}) for some 0 \leq i \leq m \\ m ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) + 1 & if (e, u) = ({u_{i}, u_{i + 1}}, u_{i + 1}) for some 0 \leq i \leq m \\ m (e, u) & otherwise \end{cases}

$r(m)(e, u)= \begin{cases} m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_i) -1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_i)\text { for some } 0\le i\le m\\ m(\{u_i, u_{i+1}\}, u_{i+1}) +1 & \text{ if } (e,u)=(\{u_i, u_{i+1}\},u_{i+1})\text { for some } 0\le i\le m\\ m(e,u) &\text{ otherwise } \end{cases}$

$m$ $r(m)$ $v$ $u$ $m(v)\lt r(m)(v)\le k-1$ $r(m)(u)\lt m(u)$ $r(m)$ $r^2(m)$ $i$ $i$ $w$ $r^i(m)$ $F_k(r^i(m))=0$ $F_k(m)>0$ $F(d)$ $w$ $d$

— ジョン・L
ソース

私は証拠を読んで、見た目が良い実際、正しく理解すれば、任意のグラフを使用できるため、さらに一般的です。私の質問は、Gが完全なグラフである特別な場合です。これは正しいです？別の質問：証明は、mがFk（m）が最小であるという事実を正確にどこで使用しますか？私はそれが最後の段落でのみ使用されていることがわかります-この事実なしに証明の前の主張は本当ですか？

— エレルシーガルハレビ

F_{k} (m)

$F_k(m)$