ゴデルの第2不完全性定理がP！= NPの形式化可能な証明を除外しないのはなぜですか？

次の理由には間違いがあるはずだと思います。そうしないと、P対NPの研究が大幅に削減されますが、エラーを特定できません。

任意の固定整数、定義します $k>0$

B_{k} := {⟨ φ ⟩ | φ is a wff of ZF and has a proof of length \leq k {| φ |}^{k}}

$B_k := \{ \langle \varphi \rangle | \; \varphi \; \text{is a wff of ZF and has a proof of length} \; \leq k{|\varphi|}^k \; \}$

すべてのについて、言語はNPにあります。長さ有効な証明は、多項式時間で自動証明チェッカーによって検証されたNP証人である可能性があるためです。さらに、十分な大きさの場合、SATがそれに還元されるため、はNP完全です。つまり、SATのインスタンスは、存在する数量詞を使用して、ZFの対応するwff を作成します。次に、満足できる真理値の割り当てを、で長さ多項式の形式的な証明にすることができます真の代入以降 $k$ $B_k$ $\varphi$ $\leq k{|\varphi|}^k$ $k$ $B_k$ $\phi$ $\varphi$ $\phi$ $\varphi$ $|\varphi|$ $\phi$ は線形です $|\phi|$ 。

ここで、ZFに一貫性がない場合、これは、と両方がZFで証明されるような正式なステートメントがあることを意味します。よく知られているように、他のステートメントは、矛盾する論理積（つまり、パスをたどることによって）導出できます。 $\sigma$ $\sigma$ $\neg \sigma$ $\tau$ $\langle \sigma \wedge \neg \sigma \rangle$

⟨ σ \land \neg σ ⟩ ⟹ both σ and \neg σ are true ⟹ ⟨ \neg τ \to σ ⟩ is true (since regardless of τ the implication is valid since σ is true) ⟹ ⟨ \neg σ \to τ ⟩ (by contraposition and double negation) ⟹ τ is true (by modus ponens with \neg σ)

$\langle \sigma \wedge \neg \sigma \rangle \implies \text{both} \; \sigma \; \text{and} \; \neg \sigma \; \text{are true} \implies \langle \neg \tau \rightarrow \sigma \rangle \; \text{is true (since regardless of} \; \tau \; \text{the implication is valid since} \; \sigma \; \text{is true)} \implies \langle \neg \sigma \rightarrow \tau \rangle \; \text{(by contraposition and double negation)} \implies \tau \; \text{ is true (by modus ponens with} \; \neg \sigma \, )$

）。したがって、ZFに一貫性がない場合、すべてのステートメントのは、証明多項式（線形にさえ思える）を持っています。 $\varphi$ $|\varphi|$

ましょう十分に大きくするための Aを可能にするために、上記で言及 NP完全であること。ZFが矛盾している場合次に、有限個しか存在しようにの高多項式証拠長手当ので、十分な長さのwffsの保証短い証明をカバーするのに十分であるが。これは、が多項式時間で決定可能であることを意味します。これは、そのNP完全性によって、P = NPであることを意味します。この推論のチェーンを対比の観点から言い換えると、P！= NPの場合、ZFは矛盾しません（つまり、一貫しています）。 $B:=B_k$ $k$ $B$ $\varphi$ $\langle \varphi \rangle \notin B$ $B$ $B$

したがって、P！= NPの正式な証明がある場合、ZFの一貫性の正式な証明があります。しかし、Godelの第2不完全性定理により、これはZFが不整合であることを意味し、これは上記のようにP = NPを取得します（否定定理の定理も同様）。

これは、P対NPがZFから独立しているという証拠にはなりません。ZFが一貫していて、P = NPまたはP！= NPは、ZF内で形式化できない手法で証明できる可能性があります。ただし、P対NPの解決には、もう1つの手ごわい障壁があります。

— アリ
ソース

回答:

アルノが彼の答えでほのめかしたように欠陥があるようです。削減は無害のように見えます（そして、確かにArielのコメントで指摘されているように教科書の練習です）、それは暗黙的にZFの一貫性を前提としています。それ以外の場合、ZFに一貫性がないと、ZFのすべてのステートメントに証明が含まれるため、満足できないSATインスタンスは、比較的短い証明を持たないwffs必ずしもマップされません。 $SAT \leq B$ $\varphi$

したがって、ZFが一貫しており、と仮定すると、メタ数学的にはと結論付けることができます（NP完全であるため、仮定しているため、はできません）。正式な控除はありません（これは、確立されたNP完全集合であるに依存するため、上記の簡約を使用する場合、ZFが一貫していると仮定する必要があります。ゴデルの第二の不完全性定理によって正式に主張された）。したがって、この引数は必要な影響を示唆することはできません。 $ZF \vdash P \neq NP$ $B \notin P$ $B$ $P$ $P \neq NP$ $ZF \vdash B \notin P$ $B$ $ZF \vdash P \neq NP$

— アリ
ソース

よくやった！これが問題のようです。

— アリエル

問題は、十分に大きなに対して、言語はNP完全であるというあなたの主張にあります。提案された削減では、満足できるSATインスタンスは「短い」証明のあるZF式に対するものであると主張するだけです。ただし、結果のZF式に短い証明がある場合はいつでも、元のSATインスタンスは満足できることを主張する必要もあります。もちろん、これは、ZFがSATインスタンスが満足できることを証明した場合、それは本当にそうだと言ってしまいますが、ここではZFの健全性を使用しています。 $k$ $B_k$

— アルノ
ソース

B_{k}

$B_k$

B_{k}

$B_k$

@Ari満足できないSATインスタンスは、メタ理論で偽のZFステートメントに対応します。したがって、還元が機能するためには、偽のZFステートメントがZFに対応していないことが必要です。

— アルノ

同等性は明らかです。式に証明がある場合、SATインスタンスは満足できます（ZFは健全ですが、これがなぜここで障害になるのかわかりません）。NPの完全性の証明については、この質問を参照してください。

— アリエル

@アリエルその質問の答えは、仮定が何であるかについて不明確です。ZFは健全であると想定する必要があります。ただリマインダー：「サウンド」とは、ステートメントに証明がある場合、それは実際に真であることを意味します。ZFに一貫性がない場合、それはすべてを証明するため、健全ではありません。特に、「ZF is sound」はZFの定理ではないことがわかります。私たちのメタ理論が「ZFは健全である」ことを証明する場合、それはまた「ZFが一貫している」ことを証明し、問題はありません。それが証明されない場合、NP完全性の証明はなく、問題もありません。

— アルノ

確かに削減の正確さはZFの一貫性に依存しますが、それは健全性とは何の関係もありません。健全性はいくつかのセマンティクスに関連して定義されており、ZFは、モデルがないために空虚に健全であるという一貫性がない場合、すべてのモデルで証明可能なステートメントが真であるという意味で健全であることを思い出してください。

— アリエル