NPハード問題の簡単なインスタンスの検出は簡単ですか？

私の質問は次のとおりです。がNP困難な問題であると仮定します。Πの任意のインスタンスIが与えられ、敵がこのインスタンスが簡単に解けることを知っていると仮定すると、この特定のインスタンスIを解くための決定論的多項式時間アルゴリズムを見つけることは可能ですか？$\Pi$$I$$\Pi$$I$

例：がGRAPH COLORINGであるとします。敵対者はn個の頂点を持つグラフGを与えます。$\Pi$$G$$n$

1. 敵はが完全であることを知っていますが、あなたはそうではありません。「このグラフはΔ + 1色で着色可能」という多項式時間アルゴリズムを見つけることができますか？$G$$\Delta +1$
2. 敵対者は、にプロパティPがあることを知っていますが、あなたは持っていません。「このグラフはb色で着色可能」という多項式時間アルゴリズムを見つけることができますか？$G$$P$$b$
3. ...

問題は本当に適切なものではありません。特定のインスタンスについて、単一のソリューション、たとえばます。したがって、答えSがハードコーディングされたアルゴリズムを想像できます。どのような入力を与えても、Sを出力するだけです。この答えは、この特定のインスタンスIを解く決定論的多項式時間アルゴリズムとしてカウントされます。$S$$S$$S$$I$

したがって、あなたの質問に対する答えは「はい」ですが、面白くない理由があります。本当に知りたいことと一致するように質問を作成する方法について、もっと考える必要があるかもしれません。

質問の最後の部分は実際には少し異なります。単一のインスタンスについては質問しません。むしろ、それは尋ねられ、特殊なケースの問題、すなわち、可能なすべてのインスタンスの適切なサブセットであるインスタンスの無限家族の Π。その場合、答えは「依存する」です。一部の特殊なケースはNPハードのままである可​​能性があり、他のケースはPである可能性があります。$I$$\Pi$

最後に、「敵対者はXを知っているが、あなたは知らない」とはどういう意味かわかりません。Xがtrueであると想定し、Xがtrueの場合にのみ機能するアルゴリズムを自由に記述できます。「知識」は面白いことであり、あなたが話しているように見えるツールの種類によってうまくモデル化されていません。複雑さの理論は、「知識」よりも「存在」に関するものです。

ある意味では、Levinのユニバーサルサーチアルゴリズムにより、あなたの質問に対する答えは肯定的です。具象グラフの色分けと、簡単なインスタンスの特定のクラスについて検討してください。このクラスが簡単であることの目撃者として、このクラスのグラフが与えられると、多項式時間で多項式サイズの証明とともに正当な色付けを生成するアルゴリズムがあります。

Levinのユニバーサルサーチアルゴリズムは、インスタンスですべての多項式時間アルゴリズムを実行します（これは、各アルゴリズムのすべての可能な多項式時間境界を試すことによって達成されます）、それらが最適性証明とともに正当なカラーリングを提供するかどうかをチェックします。簡単なインスタンスのクラスでは、このアルゴリズムは多項式時間で実行されます。残念ながら定数は巨大になるため、このアルゴリズムは実用的ではありません。