サンタよりもルパートにとってプレゼントの袋を詰めるのは簡単ですか？

^{または：プレゼントを受け取るためにルパートが必要ですか？}

ルーティングの問題は別として、サンタは次の問題に直面しています（何度も何度も）：

capacity¹とバッグを考えると$C$やプレゼントの集合$\{p_1, \dots, p_n\}$サイズでそれぞれ、$s_i$は、彼は子供たちが作りたい$\{c_1, \dots, c_k\}$幸せ。彼は子供のことを、すべての希望リストから知っている$c_j$値存在$p_i$正確に$v_{i,j} \in \mathbb{Q}_{\geq 0}$多くを。

これはプレゼントの（対で互いに素）セットそのすべてフィットして、それぞれの子のために選択すること、すなわち$I_j \subseteq [1..n]$

、$\qquad\displaystyle \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} s_i \leq C$

そして、可能な限り多くの幸福が続きます²、すなわち

？$\qquad\displaystyle \max! \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} v_{i,j}$

これは明らかにビンパッキングまたはナップザックほど簡単ではないため、貧しいサンタはバッグのパッキングに長い時間を費やす必要がある場合があります³。

今、私たちが知っているように、彼のアシスタントのルパートは無条件にそれを与えません。彼はについての知識を持っています。これは、子供c jがその年の行動に基づいて受け取る最大値です。つまり、彼は追加の制約を追加します$V_j$$c_j$

。$\qquad\displaystyle \forall j \in [1..k].\ \sum_{i \in I_j} v_{i,j} \leq V_j$

それは袋の梱包の問題を簡単にしますか？常にではない場合、どの条件の下で？

1. 場合のC himney径が制限要因であり、同様のフレームワークを確立することができます。
2. 公平性やその他のばかげたアイデアに関心を払わないでください。
3. したがって、1年に1回だけのクリスマス。QED

この質問をすぐに見て、ルパートが各子供の{行動、最大価値の存在}に関する余分な知識を持っていると、必ずしもサンタの仕事が楽になるとは思わない。サンタは、バッグを埋めるために0/1のナップザックとハンガリーのアルゴリズムを実行し、各資本家の子供がクリスマスの朝に受け取る幸福を最大にする必要があります。サンタの仕事を非常に簡単にする単純なケースは、サンタが論文を発表せず、代わりにビデオゲームを1年中プレイすることを検討しているすべての子供がルパートからゼロを受け取った場合です（各子供は石炭を受け取ります）。