サンタは公平かつ効率的でありえますか？

常緑樹の「The Physics of Santa」が確立すると、サンタが地球上のすべての子供に贈り物を受け取ることは物理的に不可能になります。ルート計画は、あまりそこ助けにはなりませんが、サンタがいる間、すべての子供はたまに贈り物を取得していることを確認して少なくともメイクが得意な計画アルゴリズムをすることができますまた、毎年、できるだけ多くの子供として機能しますか？

実際の正の重みと定数を持つ完全なグラフを考えます。巡回営業担当者の問題の変形を解決したいと思います。$k$

超えるノードに対応する最大での長さの循環ルートはありますか？$k$$m$

最適化バージョンは次のようになります。

最大での長さの循環ルートでサービスを提供できるノードの数を最大化します。$k$

これは、ルートに対する現実の制限によって動機付けられています。サンタは1泊でできるだけ多くのプレゼントを届ける、営業担当者は1日のルートに8時間かかる、などです。

最後ではないが、最初の質問は、この問題はどれほど難しいかです。どのノードからでも開始できると仮定しましょう。ただし、それほど大きな違いはないはずです。

ここで、公平性をモデル化するために、ノードがあり、ツアーごとに最大でを訪問でき​​ると仮定します。理想的には、我々はすべてのノードが訪問されることを望む渡っ回効率的なツアー。ルートが多くのノードを確実に訪問するために、より頻繁にアクセスする必要のあるボトルネックノードが存在する可能性があるため、一部のノードは必然的に頻繁にアクセスする必要がなくなります。また、一度訪問したノードをすべて訪問するまで削除することは簡単ではありません。$N$$M$$t\cdot\frac{M}{N}$$t$

では、最後の質問です。してみましょうすべてのノードがが訪れされるまでに必要なツアーの数で効率的な -tours。の最小値（および必要なすべてのルート）をアルゴリズムでどのように決定できますか？この問題はどのくらい複雑ですか？$T$ $k$$T$

これは本当に複数の基準を持つ問題だと思います。ツアーをできるだけばらばらにしたい間、各ツアーはできるだけ多くのノードを訪問する必要があります。

少し混乱しています。が定数の場合、可能なツアーをすべて試すことができます。したがって、問題はます。O （n k）$k$$O(n^k)$${\sf P}$

ただし、が入力の一部である場合、決定問題は完全です。これは、を問題に削減することで、以下の削減によって示すことができます。N P$k$${\sf NP}$$\text{HAM-CIRCUIT}$

頂点グラフにハミルトニアン回路があるかどうかを判断するとします。次に、次の距離関数 を使用して完全なグラフを取得し さらに、およびます。G K n w i j：= { 1 （ if  （v i、v j）  がG 2のエッジの 場合、それ以外の場合。k = n m = n − $n$$G$$K_n$

なぜこれが削減なのかをお話ししましょう。にハミルトニアン回路がある場合、に長さツアーがあります。換言すれば長さの円形経路役立つことノード。一方、個のノードを訪問するサンタツアーがある場合、すべてのノードを訪問する必要があります。サンタツアーの長さはのみで、すべてのエッジの長さが少なくとも1であるため、このツアーのすべてのエッジの長さは1です。したがって、このツアーはハミルトニアン回路に対応します。K N N ≤ N > （N - 1 ）> （N - 1 ）≤ N N $G$$K_n$$n$$\le n$$> (n-1)$$>(n-1)$$\le n$$n$$G$