PTAS定義とFPTAS

私が読んだものから preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

これはPTASの定義です。

問題の多項式時間近似スキーム（PTAS）は、時間サイズが入力サイズで多項式である近似スキームです。$X$

およびFPTASの定義

問題の完全多項式時間近似スキーム（FPTAS） は、時間の複雑さが入力サイズの多項式であり、1 /多項式でもある近似スキームです。$X$$\epsilon$

それから作家は言う：

したがって、PTASの場合、に比例する時間の複雑さを許容できます入力サイズです。ただし、この時間の複雑さは指数関数的です。FPTASは指数関数的に増加する時間の複雑さを持つことはできませんが、比例する時間の複雑さは問題ありません。最悪の場合の近似に関して、FPTASは、NP困難な問題に対して導出できる最も強力な結果です。$|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

次に、次の図を提案して、問題のクラス間の関係を示します。

これが私の質問です：

1. PTASとFPTASの定義、どのライターがあると結論んFPTASが指数関数的に成長する時間複雑持つことはできません？そして、それがそのような時間の複雑さを持つことができるならば、それはどんな違いを作りますか？$1/\epsilon$

2. 時間複雑さのようなのために許容可能であるFPTASそれがためではないPTAS、なぜFPTASはのサブセットであると考えられるPTAS？$(n+1/\epsilon)^3$

3. 彼の意味：FPTASは、NP困難な問題について導出できる最も強力な結果です。

4. 全体として、これらが概念に対して正確に何を意味するか、そしてそれらの明確な特性は何かを知りたいのです。

前もって感謝します。

順に質問にお答えしましょう。

1. 定義により、長さインスタンスで近似を与え、およびで時間多項式で実行されるアルゴリズム、つまりがある場合、問題にはFPTASがあります。定数。の実行時間は、どのにも属しません。その実行時間れるアルゴリズム、より良い、その実行時間のみであることが保証されるアルゴリズムよりもに依存するので、$n$$1+\epsilon$$n$$1/\epsilon$$O((n/\epsilon)^C)$$C \geq 0$$2^{1/\epsilon}$$O((n/\epsilon)^C)$$C$
   $O((n/\epsilon)^C)$$O(n^C e^{D/\epsilon})$$\epsilon$最初のアルゴリズムに適しています。さらに、任意のについて、最初のアルゴリズムを使用して多項式時間で近似を見つけることができますが、2番目のアルゴリズムは使用できません（少なくとも、所定の保証はありません）。$E$$1+1/n^E$

2. すべてのため、近似が時間内に見つかる問題は間違いなくPTASにあります。$1+\epsilon$$(n+1/\epsilon)^3$$\epsilon$$O(n^3)$$n$

3. $\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$n$$\log(1/\epsilon)$$n$$\log(1/\epsilon)$

4. $C>1$$1+\epsilon$$e^{1/\epsilon}$$\epsilon$$\epsilon$$1+1/n^C$$C$

$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$$n$$1/\epsilon$