NP完全問題は、なぜ近似の点でそれほど異なるのですか？

私はプログラマーだと言って質問を始めたいのですが、複雑性理論の背景はあまり持っていません。

私が気づいたことの1つは、多くの問題はNP完全ですが、最適化問題に拡張すると、いくつかは他のものよりも近似するのがはるかに難しいことです。

良い例がTSPです。すべての種類のTSPはNP完全ですが、対応する最適化の問題は、次の単純化でより簡単に近似できます。一般的なケースはNPO完全、メトリックのケースはAPX完全、ユークリッドのケースには実際にPTASがあります。

これは私には直観に反しているように思われ、これには理由があるかどうか疑問に思っています。

NP完全問題の近似の複雑さが異なる1つの理由は、NP完全の必要条件が問題の複雑さの非常に粗い尺度を構成することです。問題がNP完全であることの基本的な定義に慣れているかもしれません：$\Pi$

1. $\Pi$はNPにあり、
2. 他のすべての問題のために NPで、我々は、インスタンス変えることができますのインスタンスへのような多項式時間でのイエス・インスタンスです場合に限り、のイエス・インスタンスであります。$\Xi$$x$$\Xi$$y$$\Pi$$y$$\Pi$$x$$\Xi$

条件2を検討します。必要なのは、を取得して、「シングルビット」のyes / no応答を保持するに変換できることだけです。たとえば、yesまたはnoに対する目撃者の相対的なサイズ（つまり、最適化コンテキストでのソリューションのサイズ）に関する条件はありません。したがって、使用される唯一の尺度は、ソリューションのサイズに非常に弱い条件を与える入力の合計サイズです。したがって、を変換するのは非常に「簡単」です。$x$$y$$\Xi$$\Pi$

いくつかの単純なアルゴリズムの複雑さを調べることで、さまざまなNP完全問題の違いを確認できます。カラーリングには、ブルートフォース（は入力サイズ）があります。以下のための -Dominatingセット、ブルートフォース接近テイク。これらは、本質的に私たちが持っている最も正確なアルゴリズムです。ただし、頂点カバーには非常に単純なアルゴリズムがあります（エッジを選択し、エンドポイントが含まれるブランチ、すべてのカバーをマークし、マークされていないエッジがなくなるか、ヒットするまで進みます）予算O （k n）n k O （n k）k O （2 k n c）$k$$O(k^{n})$$n$$k$$O(n^{k})$$k$$O(2^{k}n^{c})$$k$およびbactrack）。多項式時間の多対一リダクション（Karpリダクション、つまり上記の条件2で行っていること）の下では、これらの問題は同等です。

さらに微妙なツール（近似の複雑さ、パラメータ化された複雑さ、私が考えられない他のツール）で複雑さにアプローチし始めると、使用する削減はより厳密になり、ソリューションの構造により敏感になります。違いが現れ始めます。 -Vertexカバーは（のYuvalは、上述のように）単純な2近似を有している（ただし、いくつかの複雑性クラス崩壊しない限りFPTASを有していない）、K -Dominatingセットを有している（1 + ログN ） -approximationアルゴリズム（ただし、（Cをlog n ）-c > 0の近似$k$$k$$(1+\log n)$$(c\log n)$$c>0$）、および Coloringの単純なバージョンでは、近似はまったく意味をなしません。$k$

決定バージョンと最適化バージョンの違いを考慮する1つの方法は、同じ決定バージョンの異なる最適化バージョンを考慮することです。たとえば、MAX-CLIQUE問題を考えてみましょう。これは、通常のパラメーター（クリークのサイズ）で近似するのが非常に困難です。最適化パラメーターをクリークのサイズの対数に変更すると、近似アルゴリズムで問題が発生します。我々が最適化パラメータを変更した場合は1 / 2 + K / N、kはクリークのサイズであり、我々が得ることができるO （1 $O(\log n)$$1/2 + k/n$$k$$O(1)$ 近似アルゴリズム。

これらの例は完全には構成されていません。MAX-INDEPENDENT-SET（MAX-CLIQUEと同等）とMIN-VERTEX-COVERの問題は密接に関連しています。独立したセットの補完は頂点カバーです。しかし、前者は近似するのが難しいのに対し、後者は単純な2近似を持っています。

特定の問題のNP硬さを示す縮約は、近似の硬さを示すためにも使用できますが、これは常に当てはまるわけではなく、縮約に依存します。たとえば、MAX-INDEPENDENT-SETからMIN-VERTEX-COVERへの減少は、後者の問題の近似の難しさを意味するものではなく、前者よりもはるかに簡単に近似できます。

要約すると、NP硬度は問題の1つの側面にすぎません。近似の硬さは別の側面であり、近似の概念に強く依存します。

直観的なアプローチとして、NP完全問題のインスタンス化は常に一般的な場合ほど難しくないことを考慮してください。バイナリ充足可能性（SAT）はNP完全ですが、A v B v C v D v ...の解を見つけるのは簡単です。複雑度アルゴリズムは、平均的なケースではなく、最悪のケース、または90％のケースさえも制限します。

NP完全問題をより単純なものに減らす最も簡単な方法は、単純にハード部分を除外することです。はい、不正行為です。しかし、多くの場合、残りの部分は依然として現実の問題を解決するのに役立ちます。場合によっては、「簡単」と「難しい」の境界線を簡単に描画できます。TSPについて指摘したように、「通常の」方向の問題を考えると、難易度が大幅に低下します。 、簡単な部分と難しい部分を区別する実際の便利な方法を見つけるのは困難です。

完全にCSと数学の領域を離れるには、古い車を考えてください。あなたの友人はそれを運転したいです。「ねえ、車は完璧に機能します。95mphを超える速度で走らないでください。道を揺るがす不快なぐらつきがあります」と大したことではないでしょう。とにかく、あなたの友人はおそらくそれを町の周りに持って行きたかっただけでしょう。しかし、「1から2番に行くにはクラッチをフェザーしなければエンジンを失速させる」と彼に言わなければならない場合、あなたの友人が少しの訓練なしで町の周りで車を使うのは難しいかもしれません。

同様に、NP完全問題がエキゾチックな場合にのみ困難になった場合、サブドメインを見ると、複雑さをかなり早く軽減します。ただし、一般的なケースで困難になる場合は、難しい部分を回避する有用なサブドメインはそれほど多くありません。