数論からのアナロジー（または、ペアノ算術）を使用して、多面的な質問に答えてみましょう。陰陽師の見解では、自然数に関するすべての質問にYES / NOの答えがあるとしています。これは「真の算術」として知られています。ただし、ゲーデルが示したように、自然数に関するいくつかの命題は証明も反証もできません。陰陽師の見解は、これらの命題が自然数の「真の」セットに関して明確な真理値を持っているとまだ保持しています。ゲーデルは、公理1の無制限のリストが自然数の真のセットを指定できることを示しました。
これがP対NPの質問に関して何を意味するか見てみましょう。陰陽師の見解では、P = NPまたはP≠NP。P対NPは数学（ZFCなど）の基礎から独立している可能性があります。この場合、P = NPもPも証明できません。≠NP。しかし、ほとんどの研究者によると、この可能性はほとんどありません。したがって、実際にP = NPであるかどうかを知りたいのです。これは、数学の標準的な基礎に従って P = NPであるかどうかにかかわらず、2と同じです。これが研究課題です。
相対化されたモデルはどうですか？数論から別の類推をさせてください。多項式の同一性が整数に対して真である場合、それはモジュロでも真ですp すべての素数 p。アイデンティティを反証するためには、それがいくつかを保持していないことを示すのに十分ですp。整数を法として考えることができますp「相対化モデル」として。例を考えてみましょう：1+1=0 モジュロ 2 モジュロではない 3。これは、1+1=0か否か？どういたしまして。私達はことを知っています1+1=2、特に 1+1≠0。しかし、いくつかの相対化されたモデルでは、この方程式は成立しません。
（非公式の）ローカルグローバル原則は、いくつかの状況では、いくつかの数論的ステートメントに対して完全な「相対化モデル」のセットがあると述べています。古典的な例は二次形式です：二次形式が与えられますQ と数 n、その後 Q 表す n 有理数（つまり、 n の画像にあります Q 入力が任意の有理数の場合）、それが表す場合 n 実数と p-adics。
残念ながら、複雑さの理論には同様の定理はありません。特に、相対化されたステートメントの真理値を考えると、何も推測できません、元のステートメントについては。状況はさらに悪化します。「真の」世界で真の結果が神託に相対化されることはもはやありません。したがって、ローカルグローバルの原則のようなステートメントがここで保持されることは期待できません。
「相対化された技術」のようなものはペアノ算術でも発生します。自然数に関して、ZFCでは証明できるが、ペアノ算術では証明できない自然数に関する記述があります。古典的な例は、パリ＝ハリントンの定理とグッドスタインの定理です。です。ペアノ演算のすべての証明は、ペアノ演算のすべてのモデルに当てはまるという意味で「相対化」している。パリ＝ハリントンとグッドスタインの定理は、ペアノ算術の一部の非標準モデルでは失敗しますが、これらは真の算術を表すものではありません。真の算術では定理が成り立つ。問題はステートメント自体ではなくペアノ算術にあります。自然数には記述されていないいくつかのプロパティがあり、これらの非標準モデルが侵入することができます。 算術の1次モデル。
これであなたの質問に答えることができます：
同じ2つのクラスのオラクル分離よりも、IP = PSPACEの非相対化証明が好ましいのはなぜですか？問題はIP = PSPACEだけですか？「真の」世界で。相対化された世界で何が起こるかは問題ではありません。IPとPSPACEを分離するオラクルが存在するため、IP = PSPACEの証明は非相対化でなければなりません。状況は、パリ＝ハリントンとグッドスタインの定理が関係する状況に似ています。
別の問題は、これらのクラスの相対化バージョンを定義する方法がおそらく明確でないことです。これにより、相対化された結果を証拠として提示することもできなくなります。
P = NPは、あるオラクルに関しては保持し、別のオラクルに関しては保持しません。神託が本質的な矛盾につながるのではなく、なぜ非相対化技法が必要であると私たちは結論付けますか？これはの状況と同じです1+1≠0上記。この定理は真ですが、整数を法とする整数に対応するさまざまな「相対化された世界」でさまざまな真理値を持っていますp 異なる値の p。これは、1+1≠0 すべてを法としないいくつかのステップを含める必要があります p。それはモジュロを働くことを意味するものではありませんp 「固有の矛盾につながる」。
Principia Mathematicaで開発された「タイプの理論」に似たようなものはありませんか？型の理論は、ラッセルがナイーブセット理論に矛盾があることを発見した後（彼のパラドックスを使用して）、数学の一貫した基礎として開発されました。複雑さの理論では、そのような根本的な困難に遭遇したことはありません。
ゲーデルの不完全性定理の意味は何ですか？不完全性定理は、P対NPが現在の数学の基礎から独立している可能性を提起します。しかし、これはほとんどの研究者によってありそうにないと考えられています。多くの難しい定理が過去に証明されました。それらのいくつかは何世紀にもわたって開いていました（たとえば、フェルマーの最後の定理）。定理が難しいという事実は、それが解決策を超えていると考える理由にはなりません。
これには、あなたが尋ねていない質問が1つ残っています。なぜ相対化された結果を気にするのですか？歴史的な理由はわかりません。これらの技術は、インスピレーションの源として機能した関連分野では当たり前のことかもしれません。当初、人々は相対化された結果が絶対的な結果を意味すること。良い例はランダムオラクル仮説です。これは、ランダムオラクルに関して複雑性理論のステートメントが成り立つ場合、それは完全に成り立つと述べています。たとえば、P対NPは任意のオラクルに関して「未定」ですが、ベイカー、ギル、ソロベイは、P≠ランダムなオラクルに関するNP。それはそのP≠NP？IP = PSPACEであるという事実は、この仮説を否定しました。その時点から、オラクルの結果への関心ははるかに低くなり、今ではかなり流行遅れです。それらはそれ自体で研究の対象となったが、PをNPから分離することに関連する主張はない。
文末脚注：
ペアノ算術の通常の公理化は、実際には有限数の公理スキームを使用します。アンドリュー・バウアーが思慮深いコメントで指摘しているように、ゲーデルの結果はさらに一般性を保っています。
反対意見については、Andrej Bauerのコメントを参照してください。