相対化が障壁なのはなぜですか？

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Baker-Gill-Solovayの証明を説明するときに、を持つことができる神託と、を持つことができる神託が友人に存在するという理由で、なぜかという疑問が浮上しました。このような手法は、問題を証明するには不適切であり、満足のいく答えを出すことができませんでした。 $\mathsf{P} = \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

より具体的に言うと、を証明するアプローチがあり、上記のような状況を発生させるためにオラクルを構築できる場合、なぜメソッドが無効になるのですか？ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

このトピックに関する説明/考えはありますか？

— ニヒル
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より具体的に言うと、P≠NPを証明するアプローチがあり、上記のような状況を発生させるためにオラクルを構築できる場合、なぜメソッドが無効になるのですか？

後者の「if」は条件ではないことに注意してください。これは、Baker、Gill、およびSolovayがすでにそのような神託を構築しているためです。（1）P = NPに関連するオラクルが存在すること、および（2）P≠NPに関連するオラクルが存在することは数学的な真実です。

これは、P≠NPを証明するアプローチがあり、同じ証明が「すべてのオラクルAに対してP ^A ≠NP ^A」というより強力な結果を等しく証明する場合、あなたのアプローチは矛盾するため失敗する運命にあることを意味します（1）。

言い換えれば、P≠NPの証明と、例えば、時間階層定理の証明との間には根本的な違いがあります。

もちろん、これはP≠NPの証明がないという意味ではありません。このような証明（存在する場合）は、上記のより強力な結果を証明することに失敗しなければなりません。言い換えれば、証明の一部は、非相対論的世界をarbitrary意的な相対論的世界から区別しなければなりません。

— 伊藤剛
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すでに良い答えがありますが、いくつかの小さなポイントを追加したいと思います。

問題を解決する手法、たとえば対角化があると仮定します。この手法では特定の問題、たとえば vs. $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ 解決できないことを示したいとします。これをどのように表示できますか？

先に進む前に、ここでは対角化のような手法は正式な概念ではないことに注意してください（そうすることはできますが）。さらに、この手法だけでは問題を解決できないということは、問題の解決にまったく役に立たないという意味ではありません。修正したり、他の手法と組み合わせて問題を解決できる可能性があります。

それでは、質問に戻りましょう。技術が特定の問題を解決できないことを示す1つの方法は、もし可能であれば、別の質問を解決するための別のフレームワークでも機能し、その場合に得られる答えは間違っていることを示すことです。これがここで起こることです。対角化を分離できれば、より、同じ引数を分離するために使用できるからのすべてのために。しかし、私たちはこれが偽であるようなオラクルがあることを知っています（オラクルとして -complete問題を取ります）。したがって、対角化では分離できません $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP^A}$ $\mathsf{P^A}$ $A$ $\mathsf{PSpace}$ から。 $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

この議論の本質的なポイントは、一種の転送原理です。

オラクルのないTMの対角化引数をオラクルのあるTMに転送できます。

対角化の引数はマシンのシミュレーションに基づいているため、これはここで可能です。さらに、シミュレーションはマシンの内部に依存せず、これらのシミュレーションからの最終的な回答にのみ依存します。この種の対角化は、単純対角化と呼ばれます。シミュレーションでは、マシンがどのように機能するかは問題ではなく、マシンの最終的な回答のみが重要です。オラクルを追加してもこれは変わらないので、シミュレーションと引数は、オラクルがあるフレームワークでも機能します。

より正式には、対角化引数は、マシンのクラス（）から、マシンが問題を解決できないことを示すインスタンス（）の関数と考えることができます。この反例関数は、対角化関数です。対角化は、それが与える反例がマシンの内部に依存していない場合、すなわち、2つの多項式時間DTMが同じ言語を持っている場合、対角化関数によって与えられた解けないことを示す反例は同じです。 $\mathsf{P}$ $SAT$ $SAT$

これが大きな制限かどうか疑問に思うかもしれませんか？反例がマシンの内部構造に依存する必要があるのはなぜですか？単純な対角化では証明できない対角化を使用して分離を証明できますか？答えはイエスです。場合という彼の1978年論文「subrecursiveクラスのインデックス」（BGS結果後3年）で実際にKozenショー分離することができる、それのための一般的な対角化引数があります。そして実際には、そのような議論が見つかっています。たとえば、Fortnowとvan MelkebeekのSAT（2000）の時空間下限は、非対角化を与える間接対角化と呼ばれる手法を使用します。 $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$

対角化は対解決できないという主張は間違っていますか？さて、一般に、ここでの対角化によって専門家が意味するのは単純な対角化であり、それには十分な理由があります。 $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

一般的な対角化引数は非常に一般的であるため、それらをテクニックと呼ぶのはあまり意味がありません。どんな分離引数も洞察なしで簡単に対角化引数に変えることができます：2つの複雑なクラスを分離する方法がすでにある場合は、小さいクラスではなく、大きいクラスの関数を選択できます。より小さいクラスのマシンの列挙を取得します。してみましょう列挙内にマシンのこと。の反例を定義する必要があります。しかし、が問題を解決できないことは既にわかっているため、これを示すインスタンスが存在し、対角化関数の値を定義します。 $M$ $M$ $M$ $M$ そのインスタンスになります。これは全体像です。詳細を確認するには、Kozenの論文を確認してください。

夏らしい：

$\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$
$\mathsf{NP}$ $\mathsf{P}$
オラクルのないフレームワークからオラクルのあるフレームワークへのこの移行が機能する理由は、単純な対角化がTMのブラックボックスシミュレーションに基づいており、オラクルがあるかどうかに関係なく、マシンの動作は関係ないためです。

対角化についてさらに学ぶための2つの良い論文は

ランスフォートナウの調査論文「対角化」、2001
Russell Impagliazzo、Valentine Kabanets、Antonina Kolokolovaの論文「An Axiomatic Approach to Algebrization」、2009。（代数化は単純な対角化の拡張であることに注意してください。）

— カベ
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この答えは今だけ見ましたが、非常に興味深いですね！Kavehに感謝します！

— ニヒル14年

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$\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ $\mathrm{A} \neq \mathrm{B}$ $\mathrm{A} = \mathrm{B}$ $\mathrm{O}$ $\mathrm{A}^\mathrm{O} \neq \mathrm{B}^\mathrm{O}$ $\mathrm{A}^\mathrm{O} = \mathrm{B}^\mathrm{O}$ $P = NP$ $P \neq NP$

なぜこれが問題なのですか？この証明が出てきたとき、私たちが知っていたテクニックとトリックの大部分は、複雑なクラスを「相対化」して、オラクルに関して機能するという点で分離または崩壊することを知っていました。たとえば、時間階層定理（およびその空間および非決定論的なバージョン）は「相対化」します。これらは、この分離が相対化するクラスの分離を証明します。実際、オラクル。

$P = NP$ $P \neq NP$ $P \neq NP$ $\mathrm{PSPACE}$

— アレックス・テン・ブリンク
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