飛行機ブローアップ
ブローアップは、代数幾何学の強力なツールです。それはそれらの構造の残りを維持しながら代数的集合から特異点を取り除くことを可能にします。 心配していなくても、実際の計算を理解するのは難しくありません（以下を参照）。 以下では、2Dの代数曲線の点の拡大を検討しています。2Dの代数曲線は、2つの変数の多項式のゼロ軌跡によって与えられます（たとえば、単位円の場合は、または放物線）。その曲線（）の爆発は、以下に定義する2つの多項式によって与えられます。とはどちらも、（可能な）特異点を削除してを記述します。(0,0)(0,0)(0,0)p(x,y)=x2+y2−1p(x,y)=x2+y2−1p(x,y) = x^2 + y^2 - 1p(x,y)=y−x2p(x,y)=y−x2p(x,y) = y-x^2（0 、0 ）R 、S R S P （0 、0 ）(0,0)(0,0)(0,0)r,sr,sr,srrrsssppp(0,0)(0,0)(0,0) チャレンジ いくつかの多項式与えられた場合、以下に定義されているようにとを見つけます。ppprrrsss 定義 まず、私がここで言うことはすべて簡略化されており、実際の定義に完全には対応していないことに注意してください。 2つの変数の多項式が与えられた場合、爆発は2つの変数の2つの多項式によってそれぞれ与えられます。pppx,yx,yx,yr,sr,sr,s を取得するには、まず定義します。その場合、はおそらく倍数になります。つまり、は、が除算しない場合です。次に、は基本的に除算後に残るものです。rrrR(x,v):=p(x,vx)R(x,v):=p(x,vx)R(x,v) := p(x,vx)R(x,v)R(x,v)R(x,v)xxxR(x,v)=xn⋅r(x,v)R(x,v)=xn⋅r(x,v)R(x,v) = x^n \cdot r(x,v)nnnxxxr(x,v)r(x,v)r(x,v)r(x,v)r(x,v)r(x,v) 他の多項式もまったく同じように定義されていますが、変数を切り替えます。最初にます。次にように定義される一部の分割しない。S(u,y):=p(uy,y)S(u,y):=p(uy,y)S(u,y) := p(uy,y)sssS(u,y)=ym⋅s(u,y)S(u,y)=ym⋅s(u,y)S(u,y) = y^m \cdot s(u,y)mmmyyys(u,y)s(u,y)s(u,y) より明確にするために、以下を検討してください 例 のゼロ軌跡によって与えられる曲線を考えます。（その点には明確に定義された接線がないため、特異点があります。）p(x,y)=y2−(1+x)x2p(x,y)=y2−(1+x)x2p(x,y) = y^2 - (1+x) x^2(0,0)(0,0)(0,0) 次に見つけます R(x,v)=p(x,vx)=v2x2−(1+x)x2=x2(v2−1−x)R(x,v)=p(x,vx)=v2x2−(1+x)x2=x2(v2−1−x)R(x,v) = …