数値のシーケンスをべき級数の係数として記述する場合、そのべき級数はそのシーケンスの（通常の）生成関数（またはGf）と呼ばれます。つまり、ある関数F(x)と一連の整数a(n)について次のようになっている場合：

a(0) + a(1)x + a(2)x^2 + a(3)x^3 + a(4)x^4 + ... = F(x)

次にF(x)はの生成関数ですa。たとえば、幾何級数は次のことを示しています。

1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... = 1/(1-x)

したがって、の生成関数は1, 1, 1, ...です1/(1-x)。上記の式の両側を微分して乗算するxと、次の等式が得られます。

x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + ... = x/(1-x)^2

したがって、の生成関数は1, 2, 3, ...ですx/(1-x)^2。関数の生成は非常に強力なツールであり、それらを使用して多くの便利なことができます。簡単な紹介はここにありますが、本当に徹底的な説明のために、素晴らしい本生成機能があります。

この課題では、入力として有理関数（整数係数を持つ2つの多項式の商）を、最初に分子、次に分母の2つの整数係数の配列として受け取ります。たとえば、関数f(x) = x / (1 - x - x^2)は[0, 1], [1, -1, -1]入力のようにエンコードされます。

この入力が与えられると、プログラムは、生成関数に等しいべき級数の係数をx、の係数から始めて、1行ごとに無限に出力する必要がありますx^2。

例：

[1], [1, -1] -> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
[1], [2, -2] -> 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, ...
[0, 1], [1, -2, 1] -> 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
[0, 1], [1, -1, -1] -> 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
[1], [1, -2] -> 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...
[0, 1, 1], [1, -3, 3, -1] -> 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...

Haskell、63バイト

z=0:z
(a:b)%y@(c:d)=a/c:zipWith(-)(b++z)(map(a/c*)d++z)%y
_%_=z

オンラインでお試しください！

%係数の無限の遅延リストを返す演算子を定義します。リストにはゼロのインデックスが付けられているため、定数係数が含まれています。

Mathematica、64 83 90 バイト

Do[Echo@Limit[D[#/#2/i!&@@Fold[x#+#2&]/@#,{x,i}],x->0],{i,∞}‌​]&

@ngenisisと@Jenny_mathyに感謝します！

2つのリストとして入力してください。

Alt+.結果を確認するには、実行を終了する必要があります。高速出力により、フロントエンドがクラッシュする可能性があります。

83バイトバージョン（@Jenny_mathy）：

i=1;v=Tr[#*x^Range@Length@#]&;While[1<2,Echo@Limit[D[v@#/v@#2/i!,{x,i}],x->0];i++]&

CJam（22バイト）

{\{(W$(@\/_pW*f*.+1}g}

オンラインデモ。既存の回答の多くと同様に、これには出力の0番目の係数が含まれていることに注意してください。

解剖

{           e# Define a block which takes numerator N and denominator D as arguments
  \         e# Flip to put D at the bottom, since that won't change
  {         e# Infinite loop:
    (       e#   Pop the first element of (the modified) N
    W$(     e#   Copy D and pop its first element
            e#   Stack: D N[1:] N[0] D[1:] D[0]
    @\/     e#   Bring N[0] to top, flip, divide
            e#   Stack: D N[1:] D[1:] N[0]/D[0]
    _p      e#   Print a copy
    W*f*.+  e#   Multiply by -1, multiply all, pointwise add
            e#   Stack: D N[1:]-(N[0]/D[0])*D[1:]
  1}g
}

Mathematica、 86 79バイト

f=x^Range@Length@#.#&;For[n=1,8>3,Print@SeriesCoefficient[f@#/f@#2,{x,0,n++}]]&

入力を2つの個別のリスト（分子係数、分母係数）として受け取ります。入力を係数のリストとしてではなく、多項式の一部として直接取得できる場合、これを大幅に短縮できます。

Dov11では無限の境界で動作するようです。これをローカルでテストすることはできませんが、その場合は、このソリューションを75バイトに短縮できます。

f=x^Range@Length@#.#&;Do[Print@SeriesCoefficient[f@#/f@#2,{x,0,n}],{n,∞}]&

Pyth、23バイト

JE#
KchQhJ=t-M.t,Q*LKJ0

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使い方

                       Q = eval(input())
JE                     J = eval(input())
  #                    infinite loop:
 chQhJ                   Q[0]/J[0]
K                        assign that to K (and print it, because of the preceding newline)
              *LKJ       K times every element of J
            ,Q           [Q, that]
          .t      0      transpose, padding with 0s
        -M               subtract each pair
       t                 remove the first element
      =                  assign that back to Q

パリ/ GP、66バイト

p->q->for(i=0,oo,print(Pol(Polrev(p)/(Polrev(q)+O(x*x^i)))\x^i%x))

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