多項式の所定のp(x)積分係数を有するとの定数項p(0) = 1 or -1、及び非負整数N、戻りNの（時には「テイラー」という）電力seris番目の係数f(x) = 1/p(x)で開発されたx0 = 0、すなわち、次数の単項式の係数N。

与えられた条件は、べき級数が存在し、その係数が整数であることを保証します。

詳細

いつものように、多項式は、たとえば係数のリストなど、任意の便利な形式で受け入れることがp(x) = x^3-2x+5できます[1,0,-2,5]。

機能のPOWERSERIES fで開発が0で与えられます

- N番目の係数（の係数x^N）は

ここでは、のn次の導関数を示しますf

例

• 多項式のp(x) = 1-x結果は幾何級数であるf(x) = 1 + x + x^2 + ...ため、出力は1すべてになりNます。

• p(x) = (1-x)^2 = x^2 - 2x + 1結果は幾何級数の導関数になるf(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ...ため、の出力はNですN+1。

• p(x) = 1 - x - x^2 フィボナッチ数列の生成関数になります f(x) = 1 + x + 2x^2 + 3x^3 + 5x^4 + 8x^5 + 13x^6 + ...

• p(x) = 1 - x^21,0,1,0,...ie の生成関数になりますf(x) = 1 + x^2 + x^4 + x^6 + ...

• p(x) = (1 - x)^3 = 1 -3x + 3x^2 - x^3-th係数が二項係数であるf(x) = 1 + 3x + 6x^6 + 10x^3 + 15x^4 + 21x^5 + ...ことを意味する三角数の生成関数になりますN(N+2, N)

• p(x) = (x - 3)^2 + (x - 2)^3 = 1 + 6x - 5x^2 + x^3 結果として f(x) = 1 - 6x + 41x^2 - 277x^3 + 1873x4 - 12664x^5 + 85626x^6 - 57849x^7 + ...

Mathematica、24 23バイト

Greg Martinのおかげで1バイト節約

D[1/#2,{x,#}]/#!/.x->0&

2つの引数#とを持つ純粋な関数#2。多項式がを#2満たすと仮定しますPolynomialQ[#2,x]。もちろん、これにはビルトインがあります：

SeriesCoefficient[1/#2,{x,0,#}]&

Matlab、81 79 75バイト

前の2つの答えとは異なり、これはシンボリック計算を使用しません。アイデアは、係数を繰り返し計算できるということです：

function C=f(p,N);s=p(end);for k=1:N;q=conv(p,s);s=[-q(end-k),s];end;C=s(1)

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説明

function C=f(p,N);
s=p(end);            % get the first (constant coefficient)
for k=1:N;           
    q=conv(p,s);     % multiply the known coefficients with the polynomial
    s=[-q(end-k),s]; % determine the new coefficient to make the the product get "closer" 
end;
C=s(1)           % output the N-th coefficient

GeoGebra、28バイト

Derivative[1/A1,B1]/B1!
f(0)

入力は、それぞれ多項式と整数のスプレッドシートセルA1とB1から取得され、各行は入力バーに個別に入力されます。出力は、変数への代入によるものですa。

実行を示すgifは次のとおりです。

組み込みの使用ははるかに長く、48バイトです。

First[Coefficients[TaylorPolynomial[1/A1,0,B1]]]

Haskell、44バイト

p%n=(0^n-sum[p!!i*p%(n-i)|i<-[1..n]])/head p

代数組み込みなしの直接計算。をp = [1,-2,3,0,0,0,0...]（つまりp = [1,-2,3] ++ repeat 0）のようなべき級数係数の無限リストとして入力し1-2*x+x^2ます。のようp%3に呼び出します-4.0。

考え方は、pが多項式でq = 1 / pが逆の場合、項ごとに等式p・q = 1を表すことができるということです。係数X ^NでP・Qは、の係数の畳み込みによって与えられるPとQ：

p ₀・q _n + p ₁・q _n-1 + ... + p _n・q ₀

以下のためのp・q = 1で保持するために、上記マストは全てゼロに等しく、N> 0。ここでは、我々は表現することができ、Qを_n個の面で再帰的にQ ₀、...、Q _N-1との係数のp。

q _n =-1 / p ₀・（p ₁・q _n-1 + ... + p _n・q ₀）

これは式sum[p!!i*p%(n-i)|i<-[1..n]]/head pで計算されたものでhead p、先頭の係数はp ₀です。初期係数q ₀ = 1 / p ₀は0^n、の指標としてを使用して同じ式で算術的に処理されn==0ます。

J、12バイト

1 :'(1%u)t.'

LHSでは動詞の形のt.多項式を、RHSではp非負の整数をとる副詞を使用し、atのテイラー級数の^th係数をk計算します。べき級数を取得するために、逆数が適用される前に取得されます。kpx = 0p

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メープル、58 26バイト

これは、の多項式xと整数を受け入れる名前のない関数ですN。

編集：私はちょうどビルトインがあることに気づいた：

(p,N)->coeftayl(1/p,x=0,N)

MATL、19バイト

0)i:"1GY+@_)_8Mh]1)

@flawrのすばらしいMatlab回答の翻訳。

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使い方

0)      % Implicitly input vector of polynomial coefficients and get last entry
i       % Input N
:"      % For k in [1 2 ... N]
  1G    %   Push vector of polynomial coefficients
  Y+    %   Convolution, full size
  @     %   Push k
  _     %   Negate
  )     %   Index. This produces the end-k coefficient
  _     %   Negate
  8M    %   Push first input of the latest convolution
  h     %   Concatenate horizontally
]       % End
1)      % Get first entry. Implicitly display

JavaScript（ES6）、57バイト

(a,n)=>a.reduce((s,p,i)=>!i|i>n?s:s-p*f(a,n-i),!n)/a[0]

@xnorのHaskell回答のポート。私はもともと反復バージョンを試しましたが、98バイトであることが判明しましたが、再帰呼び出しを効果的にメモしているので、大きなNでははるかに高速です：

(a,n)=>[...Array(n+1)].fill(0).map((_,i,r)=>r[i]=r.reduce((s,p,j)=>s-p*(a[i-j]||0),!i)/a[0]).pop()

n+1配列に保存される用語が必要ですr。rゼロは結果に影響を与えないため、配列全体を一度に減らすことができる最初はゼロです。最後に計算された係数が最終結果です。

PARI / GP、31 27バイト

f->n->Pol(Ser(1/f,,n+1))\x^n