非標準ボード上のKBN対Kチェックメイト
回答:
実際、司教と騎士の仲間は見た目ほど滑りやすいわけではありません。私が書いたテーブルベースプログラムでこれをチェックしました。10x10のボードでは、司教と騎士（たとえば白）がいる側は、最大47の移動を強制することができます。Whiteは、最大93回の移動で、16x16ボードで強制的に合致させることさえできます。私は、任意の大きさの偶数サイズのボードにチームメイトを強制することができると信じています。
まず、奇妙なサイズのボードで、司教が間違った色をしている場合、白は配偶者を強制することができないことを確認しました。合致は良いコーナー（司教がコントロールするコーナー）でのみ強制することができるため、良いコーナーがない場合、合致を強制することはできません。
10x10ボードでは、47の最適な合致は次のとおりです。開始位置はWです。Ka1、Nb1、Bc1。B：Kc2。 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Be7 Kf4 9.Ke6 Kg4 10.Ke5 Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13。 Kf4 Kg2 14.Nd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Nf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Bf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Bj2 Kg1 21.Ng4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Nf2 Kd2 24.Bf6 Ke3 25.Bg7 Kd2 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc5 Ke1 37.Bd4 Kd1 38。 Bc3 Kc1 39.Nf5 Kd1 40.Ne3 Kc1 41.Kc4 Kb1 42.Kb3 Kc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 + Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3＃
23. Nf2の後、アンドリューの答えに示されているようなポジションがあります（ただし、逆さま：W：Kg3、Bj2、Nf2、B：Ke2）。aとbの列（および行9と10）を削除してこのボードを8x8にすると、14で合致しますが、ここでは25で合致します。上記の最適な行では、黒王はa10コーナー。彼が23でしたとしましょう。... Kd2 24. Bf6 Kc2。この移動は、25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka6 31.Kc6の継続で、1つの移動によって合致を短縮します。
黒王はa6までしか逃げることができず、最終的にはまだa1の良いコーナーに閉じ込められています。この続きの残りは31です。... Ka5 32.Nd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41。 Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Nd3 + Ka2 45.Nc1 + Ka1 46.Bc3＃
4から16までのすべての偶数サイズのボードで強制的に合致させる移動の数を次に示します。4：15; 6：22; 8：33; 10：47; 12：64; 14：78; 16：93。どのサイズのボードでも、黒はすぐに勝つことができるので、いくつかのポジションが描かれることに注意してください。
以下は、16x16ボード上の92の最適な合致です。開始位置は再びWです：Ka1、Nb1、Bc1。B：Kc2。1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf9 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13。 Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Bg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 Ke14 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.Kd13 Ke16 25.Ke14 Kd16 26.Nd7 Kc16 27.Ne9 Kb15 28.Kd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Kd16 Ka15 33.Kc15 Ka16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37.Nd13 Ka14 38。 Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nb12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bf12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Nd11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63。 Kc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Kc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Nd7 Ka7 70。Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Kc7 Ka6 73.Kc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Kd5 Kb3 78.Kd4 Kc2 79.Bb4 Kb3 80.Kc5 Ka2 81.Kc4 Kb1 82.Kc3 Kc1 83.Nd6 Kd1 84.Kd3 Kc1 85.Nc4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Kc3 Ka2 89.Kc2 Ka1 90.Kb3 Kb1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3＃
それは長いですが、それをプレイすることは間違いなく、白が勝手に大きなボードにチームメイトを強制する可能性があることを確信させてくれました。最初の段階では、白人の王と司教は黒の王を囲い込み、白の騎士が追いつくためのテンポを購入することができます。黒い王が悪いコーナー（この場合はa16）に閉じ込められると、非常に小さな呼吸室でaファイルをシャッフルします。手順はW操作よりもかなり複雑ですが、白は常に完全に制御されているように見えます。
7x7の質問から始めましょう。
「間違った」色の司教とともに、7x7のボードで強制的な勝利はありますか？
これは、答える2つの質問のうち、簡単なようです。最初に、これが唯一の交配パターンであることを自分に納得させてください（黒の王はそのすぐ左の暗い四角の上にいることもできます）：
重要な点は、白がこの位置を強制することは不可能だということです。黒の王は前の動きで行き詰まっていたでしょう。あるいは、黒の王が左に1マス移動した場合、白がプレイできた唯一の合法的な移動は、司教をその対角線上に移動して相手を引き渡すことです。もしそうなら、その前に黒人の王様はどこにいましたか？f2（左に2つ、上に1つ）にあります。そのため、黒人はコーナーへの移動を余儀なくされず、代わりに仲間を避けることができました。結論として、間違ったコーナーに強制的に合致させる方法はありません。ボードを短くしてもこの事実は変わりません。
最初の質問：
10x10ボードで強制的に勝ちましたか？
この場合、白には適切なコーナーがありますが、白が黒の王を間違ったコーナーに押し込む可能性があると仮定しましょう。標準の8x8ボードでは、キングがキングを交配コーナーに移動させる過程で、キングがサイドから数回手を離す必要があります（完全なチュートリアルについては、ウィキペディアを参照してください）。黒がエッジから一時的に逃げるときの通常の位置は次のとおりです。
黒は通常プレー...Kc6しBd3!、王が逃げられた後。ただし、10x10ボードでは、黒が再生...Kb7され...Ka7、その後、最後に再生され...Kz6ます（最初のファイルを左の「z」と呼びましょう）。白には黒の王がバインドから逃げるのを防ぐために王と騎士を連れて行く方法がありません。繰り返しになりますが、ボードが8x8のみであることは良いことです。さもないと、司教と騎士は決して王と交際できません。
免責事項：私は表ベースに関する主張を証明していません
司教の正方形と同じ色のコーナーがある限り、MとNが少なくとも8（MまたはNまたは両方とも無限）であるボードでは、明らかに多くの強制勝利があります。
ピースがすべて黄色の色付きのサブボードにあり、黒のキングがd10-j4-j10の三角形から逃れることができない場合、そのサブボードで（最適に）勝つことができるので、フルボードでも位置が勝ちます。黒い王に三角形を逃がさないでボード。緑のサブボードも同様です。同じことがMxNボードにも当てはまります。
しかし、勝ったポジションは決してそのようなポジションに制限されません。たとえば、示されている位置では、白は黒の防御に対して最大33の動きで交尾できます。もちろん、同様のポジションのかなりの割合があります。
MまたはNが小さすぎる場合、必ずしも強制的に勝利する必要はありません。たとえば、1xNボードにはチェックメイトの位置はありません。
厳密に言えば、司教の広場と同じ色のコーナーを含まないが、コーナーのコーナーを含む（十分に大きい、すなわちM、N> 2、M + N> 6）ボード上の強制勝利の数は比較的少ない反対の色。これには、「間違った」色のコーナーが付いた7x7ボードが含まれます。これは、そのようなコーナーを含むボードの「間違った」コーナーでも可能です。たとえば、8x8ボードの場合：
1.Ng6 + Kg8 2.Bd5＃
コーナーがないボード、つまり片側または両側が両方向に無制限に伸びているボードには勝ちがありません。
あらゆるサイズのボードに描画位置があります（これは、司教の正方形と同じ色の角がないボード、およびMとNの一方または両方が小さすぎるボード、およびボード上の一般的なケースですMとNが両方とも大きい場合）、8x8ボードの1つの例：
1 ... Kf3など
標準ボードでは、引かれたポジションは例外です（Nalimov EGTBによると、すべてのポジションの10％未満）。
しかし、10x10のボードには繰り返しによるドローもあり、一人の王様が作品のキャプチャを強制することはできませんが、作品のある側は合致を強制することはできません。これは明らかに「間違った」色の司教の奇妙なMとNであるため、大きなMとNの一般的なケースになると思います。
ボードに司教の正方形と同じ色のコーナーが含まれていて、MまたはNが8以下（ただし、小さすぎない）のままである限り、通常、相手の有限の大きな値に対して（やや無関係）他の無限の値ではない限り多くの位置で。
編集：
DanStrongerの投稿を読んだ後、大きなボードでの繰り返しによるドローについての私のコメントは間違っていると思います。これらは、最初にエンディングを演奏することを学んだときに作った45年前の分析に基づいていました（詳細は今はかすんでいます）が、分析には欠陥があると思う傾向があります。その場合、ボードのサイズが大きくなると、実際にドローの割合が減少します。
ここでできる最大の違いは、王との交尾に必要な動きの数だと思います。上記の多くの証拠は、ほぼ無限に増加するボードで交配することが可能であることを証明しています（長方形ではなく正方形であると仮定します（そのため私は知らない））トーナメントでは、不必要に長くなることを防ぐために50の移動ルールがありますゲーム。50の動きの範囲内で8x8ボード上でこのシナリオに合致することは可能ですが、エラーの余地はほとんどありません。ボードが大きくなればなるほど、キングをコーナーに囲い込むのに必要なスペースが増え、90以上の仲間が動きます。
要約すると、ボードが正方形（長さ=幅）である限り、KBN対K mateが実現可能です。ボードが長方形の場合、私は答えられません。他の誰かが彼らが望むなら答えることができます、またはあなたが質問を編集することができます！