ことを示す
レッツとY 2〜N （μ 2、σ 2 2）独立系。ことを示すY 1 + Y 2は、スキュー正規分布を有しており、この分布のパラメータを見つけます。Y1∼SN(μ1,σ21,λ)Y1∼SN(μ1,σ12,λ)Y_1\sim SN(\mu_1,\sigma_1^2,\lambda)Y2∼N(μ2,σ22)Y2∼N(μ2,σ22)Y_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)Y1+Y2Y1+Y2Y_1+Y_2 確率変数は独立しているため、畳み込みを使用しようとしました。LET Z=Y1+Y2Z=Y1+Y2Z=Y_1+Y_2 fZ(z)=∫∞−∞2ϕ(y1|μ1,σ1)Φ(λ(y1−μ1σ1))ϕ(z−y1|μ2,σ22)dy1fZ(z)=∫−∞∞2ϕ(y1|μ1,σ1)Φ(λ(y1−μ1σ1))ϕ(z−y1|μ2,σ22)dy1f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\phi(y_1|\mu_1,\sigma_1)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\phi(z-y_1|\mu_2,\sigma_2^2)\,\text{d}y_1 ここで、とΦ （）は、それぞれ標準の正規pdfとcdfです。ϕ()ϕ()\phi()Φ()Φ()\Phi() fZ(z)=∫∞−∞212πσ1−−−−√12πσ2−−−−√exp(−12σ21(y1−μ)2−12σ22((z−y1)2−μ)2)Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1fZ(z)=∫−∞∞212πσ112πσ2exp(−12σ12(y1−μ)2−12σ22((z−y1)2−μ)2)Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}}exp\Big(-\frac{1}{2\sigma_1^2}(y_1-\mu)^2-\frac{1}{2\sigma_2^2}((z-y_1)^2-\mu)^2\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1 簡略表記の場合、k=212πσ1√12πσ2√k=212πσ112πσ2k=2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_2}} fZ(z)=k∫∞−∞exp(−12σ21σ22(σ21(y1−μ1)2+σ22((z−y1)−μ2)2))Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫∞−∞exp(−12σ21σ22(σ22(y21−2y1μ1+μ1)+σ21((z−y1)2−2(z−y1)μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫∞−∞exp(−12σ21σ22(σ22(y21−2y1μ1+μ1)+σ21(z2−2zy1+y21−2zμ2+2y1μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1fZ(z)=k∫−∞∞exp(−12σ12σ22(σ12(y1−μ1)2+σ22((z−y1)−μ2)2))Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫−∞∞exp(−12σ12σ22(σ22(y12−2y1μ1+μ1)+σ12((z−y1)2−2(z−y1)μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1=k∫−∞∞exp(−12σ12σ22(σ22(y12−2y1μ1+μ1)+σ12(z2−2zy1+y12−2zμ2+2y1μ2+μ22)))×Φ(λ(y1−μ1σ1))dy1\begin{align*}f_Z(z)&=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_1^2(y_1-\mu_1)^2+\sigma_2^2((z-y_1)-\mu_2)^2\Big)\Big)\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1\\ &=k\int_{-\infty}^{\infty}\exp\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2((z-y_1)^2-2(z-y_1)\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1=k\int_{-\infty}^{\infty} \exp\\&\Big(\frac{-1}{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\Big(\sigma_2^2(y_1^2-2y_1\mu_1+\mu_1)+\sigma_1^2(z^2-2zy_1+y_1^2-2z\mu_2+2y_1\mu_2+\mu_2^2)\Big)\Big)\\&\quad\times\Phi\Big(\lambda(\frac{y_1-\mu_1}{\sigma_1})\Big)\,\text{d}y_1 \end{align*} しかし、私はこの時点で行き詰まっています。 編集：コメント欄で提案した後、服用とσ 2 1 = σ 2 2 = 1μ1=μ2=0μ1=μ2=0\mu_1=\mu_2=0σ21=σ22=1σ12=σ22=1\sigma_1^2=\sigma_2^2=1 ∫∞−∞212π−−√12π−−√exp(−12[y21+z2−2zy1+y21])Φ(λy1)dy1∫∞−∞212π−−√12π−−√exp(−12y21)Φ(λy1)exp(−12(z−y1)2)dy1∫−∞∞212π12πexp(−12[y12+z2−2zy1+y12])Φ(λy1)dy1∫−∞∞212π12πexp(−12y12)Φ(λy1)exp(−12(z−y1)2)dy1\begin{align*} &\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}[y_1^2+z^2-2zy_1+y_1^2]\Big)\Phi(\lambda y_1)dy_1 \\&\int_{-\infty}^\infty 2\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Big(-\frac{1}{2}y_1^2\Big)\Phi(\lambda y_1) \exp\Big(-\frac{1}{2}(z-y_1)^2\Big)dy_1\end{align*} 歪曲は正常です。