歪んだ正規分布のパラメーター推定

スキュー法線の公式パラメーター推定値は何ですか？可能であれば、MLEまたはMomによる派生もすばらしいでしょう。ありがとう

編集。

プロットが少し左に傾いていることで視覚的に確認できる一連のデータがあります。平均と分散を推定してから、適合度検定を実行したいのです（これがパラメーター推定が必要な理由です）。私はスキュー（アルファ）を​​推測する必要があると思っているのは正しいですか？

私は自分の理解のためにMLEの派生を望んでいます-私はMLEに慣れているので、MoMよりもMLEを好みます。
2つ以上の一般的なスキュー正常があるかどうか確信がありませんでした。可能であれば、スキュー指数指数パラメータの推定も役立ちます。

実際、「ゆがみのない家族」のメンバーは爆発的に増えました（ウィキペディアの記事ではこれを証明していません）。それで、それらすべての母を考えてみましょう、それは確率密度関数を持っています

ここで、ϕ（）は標準の正規確率密度関数、Φ（）は標準の正規確率密度関数です。ξは位置パラメータ、ωはスケールパラメータ、αはスキューパラメータです。

$$f_X(x) = \frac{2}{\omega}\phi\left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\Phi\left(\alpha \left(\frac{x-\xi}{\omega}\right)\right)$$ $\phi()$$\Phi()$$\xi$$\omega$$\alpha$

MLエスティメータの閉形式のソリューションは存在しません。メソッド・オブ・モーメントすべての3つのパラメータであると仮定すると、以下のように閉じた形態を提供推定、非ゼロ（IF明らかおよび/またはξがゼロである場合、以下の手順が簡略化されます）。$\omega$$\xi$

$\hat \delta$$\delta$

$\hat \gamma_3$

$\hat \alpha$

$$\delta = \frac {\alpha}{\sqrt {(1+\alpha^2)}} \implies \hat \alpha = \frac {\hat \delta}{\sqrt{1-\hat \delta^2}}$$

$\hat \omega$$\omega$

$$\hat \sigma^2_x = \omega^2\cdot \left(1-\frac{2\hat \delta^2}{\pi}\right)$$ $\delta$

$\hat \xi$$\xi$

$$\hat \mu_x = \xi + \hat \omega \hat \delta\sqrt {2/\pi}$$

また、推定器の分散に関しては、この順次手順で推定誤差を伝播することを忘れないでください。