同じモーメントの分布が同一かどうか

以下は、以前の投稿と似ていますが、こことここでの投稿とは異なります

distributions lognormal moments mgf

— すべてのStackExchange
ソース

質問＃2に従って、一般に、2つの関数が同じMGFを持っている場合（0の開いた近傍に存在する場合）、それらは同じ分布に従います。残念ながら、証明は非常に複雑であるため、私はその証明を知りません。少しでもお役に立てば幸いです。

— nicefella 14

@nicefella証明は比較的簡単です。MGFを虚数で評価すると、分布を生成するために反転できる特性関数が得られます。MGFが原点付近で分析的であれば、反転は機能します。

— whuber

逆順で答えさせてください：

2.はい。MGFが存在する場合、それらは同じになります*。

例についてはこちらとこちらをご覧ください

確かに、それはあなたがこれが由来する投稿であなたが与える結果から続きます。MGFが分布を一意に決定し、2つの分布がMGFを持ち、同じ分布を持っている場合、それらは同じMGFを持っている必要があります（そうでなければ、「MGFが分布を一意に決定する」に対する反例があります）。

*「ほぼどこでも」というフレーズが原因で、「同じ」の特定の値に対して

**「ほぼどこでも」

ケンドールとスチュアートは、同一のモーメントシーケンスを持ちながらも異なる連続分布ファミリ（おそらく元々はStieltjesまたはそのヴィンテージによるものですが、私の記憶は不明で、数十年前のもの）をリストしています。

RomanoとSiegelによる本（確率と統計の反例）には、セクション3.14および3.15（48〜49ページ）の反例がリストされています。（実際に、それらを見て、私はそれらの両方がケンドールとスチュアートにあったと思います。）

Romano、JPおよびSiegel、AF（1986）、
「確率と統計の反例」。
ボカラトン：チャップマンとホール/ CRC。

3.15については、彼らはFeller、1971年、p227

2番目の例には、密度のファミリーが含まれます。

f (x; α ） = \frac{1}{24} \exp （ - {バツ}^{1 / 4} ） [1 - α 罪 （ {バツ}^{1 / 4} ）] 、 バツ > 0; 0 < α < 1

$f(x;\alpha) = \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})[1-\alpha \sin(x^{1/4})], \quad x>0;\,0<\alpha<1$

$\alpha$

$f$

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) -\alpha \frac{1}{24}\exp(-x^{1/4})\sin(x^{1/4})$

そして、2番目の部分が各モーメントに0を与えることを示すため、それらはすべて最初の部分のモーメントと同じです。

$\alpha=0$ $\alpha=0.5$

同じ瞬間、異なる密度の例

さらに良いのは、はるかに広い範囲を取り、x軸に4番目のルートスケールを使用して、青い曲線を直線にし、緑の曲線を上下にsin曲線のように動かすことです。

ここに画像の説明を入力してください

青い曲線の上下の小刻みは、大きさが大きくても小さくても、正の整数モーメントはすべてそのままになります。

$X_1,X_2$ $\alpha$ $X_1$ $-X_2$

— Glen_b -Reinstate Monica
ソース

ありがとう！2番目の質問への回答で、「特定の値の「同じ」」とはどういう意味ですか？私の最初の質問に反例を挙げていただけますか？

— すべてのStackExchange

これは、前の質問にある「ほぼどこでも」に起因する必要な資格への単なる参照です。したがって、反例は、ほぼどこでも同じであるが、カウント可能なポイントのサブセットで異なる密度関数を見ることができます-私はすでにあなたに例を与えました。

— -Glen_b-モニカーの復活2014

最初の質問（2番目の質問に対する答えと以前の投稿の質問による）について、すべての反例は両方の分布が瞬間生成関数を認めない場合に属しますか？

— 14

そうでなければならないということは、私がリンクしたと思う枢機 'の答えの「ゼロを含む開区間でmgfが有限である場合、関連する分布はそのモーメントによって特徴付けられる」という文の結果です。その意味でmgfが有限でない場合、それは分布がそのモーメントによって特徴付けられない唯一の方法です。

— Glen_b-モニカーの復活2014

最初の質問はstats.stackexchange.com/questions/25010/…で、OPの最近の質問stats.stackexchange.com/questions/84158/…で回答されました。Fellerの例は、Stuart＆OrdのStieltjes（Fellerの時代以前）に起因します。

— whuber