モーメント生成関数のアイデンティティ

同じモーメント生成機能を持つ偶然の分布はありますか？

はい。

演習では、スチュアート＆オード（統計のケンドールの高度な理論。。、第5版、例3.12）（どうやら彼に現れTJスティルチェスの1918結果引用Oeuvresを完了し、）：

が期間1の奇数関数の場合$f$、それを示す$\frac{1}{2}$

$$\int_0^\infty x^r x^{-\log x} f(\log x) dx = 0$$

すべての整数値に対して。したがって、分布が$r$

$$dF = x^{-\log x}(1 - \lambda \sin(4\pi \log x))\ dx, \quad 0 \le x \lt \infty;\quad 0 \le |\lambda| \le 1,$$

の値に関係なく同じモーメントを持ちます。$\lambda$

（オリジナルでは、のみとして現れるλ ;の大きさに制限λは密度関数のすべての値を維持する必要から生じるD F。非負）運動は、置換を介して解決することは容易であるが、X = exp （y ）および正方形を完成させます。λ = 0の場合は、既知の対数正規分布です。$|\lambda|$$\lambda$$\lambda$$dF$$x = \exp(y)$$\lambda=0$

青い曲線は、対数正規分布である対応します。赤い曲線について、λ = - 1 / 4及び金の曲線について、λ = 1 / 2。$\lambda=0$$\lambda = -1/4$$\lambda = 1/2$