連続確率変数のため、なぜ

私の教科書はこれを「メモ」という見出しの付いたサイドボックスに入れ、その理由を説明していません。この声明がなぜ当てはまるのか教えてください。

$P(a < Z < b) = P(a \leq Z < b) = P(a < Z \leq b) = P(a \leq Z \leq b)$

probability mathematical-statistics continuous-data

— 人
ソース

これらの主張を「継続的」の定義としてほとんど取ることができる。、そして、何があなたの連続確率変数の定義は？

— whuber

連続確率変数の場合、および何ですか？

P (Z = a)

$P(Z=a)$

P (Z = b)

$P(Z=b)$

— Glen_b-モニカを2014

確率分布上のWikipediaの記事は、これを説明するのはかなり良い仕事をしていません。最終的に、それはCDFが連続的であるという事実を引き起こします。

— whuber

回答:

これに追加する正式なものはありませんが、これを理解するのに本当に役立つアナロジーは、微積分テキストに由来します。あなたが特定の長さと重さの鉄パイプを持っていると想像してください。そして、あなたはそれを2つに切りたいと思います。パイプの長さが1 mであるとしたら、0.5のマークで半分にカットすることをお勧めします。ここで、パイプの重量をパイプの長さの定数倍と考えます（長さが等しいすべての断面は同じ重量であると想定しています）。

0.5 mのマークでパイプを半分に切断する-どのくらいの重量が減りますか？削除している唯一の断面は0.5 mマーク自体であることを忘れないでください。それで、この断面の長さはどれくらいですか？0.49999999 ...はその一部ではなく、どちらも0.5000000000 ... 1、または0.5に近いが0.5に等しくないその他の点ではないことを考慮してください。したがって、この断面の長さは技術的にゼロです。つまり、実際に体重を減らしているわけではありません。

これは、とが連続変数に対して基本的に同じである理由を説明します-エンドポイントを含めても除外しても実際には何も変わりません-エンドポイントの近くで選択したポイントについては、それらの間に無限のポイントがまだあります。 $\leq$ $<$

これは意味がありますか？

— ltronneberg
ソース

まず、（絶対的に）連続する確率変数の定義を示します。 $Z$

（高度な確率が必要です。多くの場合、スキップしてください！）

してみましょう可能確率空間としましょうランダムベクトルです。確率上のによって定義、の分布と呼ばれる。今、もし上のルベーグ測度である、（すなわちある絶対連続に関して）その後、我々はと言う（絶対に）連続ランダムベクトルです。今を使用して $(\Omega,F, P)$ $Z:\Omega\rightarrow R^n$ $P_X$ $B(R^n)$ $P_Z(A)=P\{Z\in A\}$ $A \in B(R^n)$ $Z$ $P_Z\ll \mu,$ $\mu$ $R^n$ $P$ $\mu$ $Z$ ラドン=ニコディムの定理は、関数が存在よう全てについて。の密度関数をと呼びます。 $f: R^n\to[0,+\infty]$ $P_Z(A)=\int_{A}fd_{\mu}$ $A \in B(R^n)$ $f$ $Z$

今絶対連続確率変数の累積分布関数（CDF）を定義：として $Z$

F_{Z} (z) = P (Z \leq z) .

$F_Z(z)=P(Z\leq z).$

私は正式な証明を与える前に、のは、均一の確率密度関数を用いて、すなわち分散された連続ランダムvaribleの例持たせのためにそうでなければ0を。次に、を見つけようとします。我々は $f(z)=1$ $0\leq z \leq 1$ $P(z=0.5)$ 次のように我々は、より良い近似を得るために、その間隔を縮小することができる：

P (z = 0.5) \sim P (0.4 < z \leq 0.6) = \int_{0.4}^{0.6} f (z) d_{z} = 0.2.

$P(z=0.5)\sim P(0.4< z\leq 0.6)=\int_{0.4}^{0.6}f(z)d_z=0.2.$

P (z = 0.5) \sim P (0.49 < z \leq 0.51) = \int_{0.49}^{0.51} f (z) d_{z} = 0.02,

$P(z=0.5)\sim P(0.49< z\leq 0.51)=\int_{0.49}^{0.51}f(z)d_z=0.02,$

P (z = 0.5) \sim P (0.499 < z \leq 0.501) = \int_{0.499}^{0.501} f (z) d_{z} = 0.002.

$P(z=0.5)\sim P(0.499< z\leq 0.501)=\int_{0.499}^{0.501}f(z)d_z=0.002.$

Z

$Z$

P (Z = a) = 0,

$P(Z=a)=0,$

P (Z = a) = lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ) = lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a + ϵ) - lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) - F_{Z} (a) = 0,

$P(Z=a)=\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon< Z\leq a+\epsilon)=\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a+\epsilon)-\lim_{\epsilon\to 0}F_Z(a-\epsilon)\\=F_Z(a)-F_Z(a)=0,$

F

$F$

Z

$Z$

P (Z = b) = 0

$P(Z=b)=0$

P (A ⋃ B) = P (A) + P (B) - P (A ⋂ B) .

$P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B).$ したがって、他の等式に同じ引数を使用できます。

P (a \leq Z < b) = P ({Z = a} ⋂ {a < Z < b}) = P (Z = a) + P (a < Z < b) = 0 + P (a < Z < b) = P (a < Z < b) .

$P(a\leq Z<b)=P\Big(\{Z=a\}\bigcap \{a<Z<b\}\Big)=P(Z=a)+P(a<Z<b)\\=0+P(a<Z<b)=P(a<Z<b).$

— Stat
ソース

この議論は、無数の可能な値のセットを持つ離散分布にも同様に当てはまるようですが、結論は明らかに間違っているため、問題があります。

— whuber

「結論が明らかに間違っている」ことをどのように示すかを教えていただければ幸いです...

— 統計

離散分布では（たとえポアソンまたは負の二項式のように）無限にサポートされている場合でも、すべての値の確率はゼロではありませんが、引数はすべて確率がゼロであることを示しています。

— whuber

答えを変えた。

— 統計2014年

が右連続関数であるため、が得られるというあなたの主張には同意しません目的の結果には、左連続性が必要です。これは、連続ランダム変数に対してが右連続と左連続の両方であるため、もちろん成立します。また、あなたがされます計算確率がセット連続関数であるという事実使用、それは同じであることを主張。

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

lim_{ϵ \to 0} F_{Z} (a - ϵ) = F_{Z} (a) .

$\lim_{\epsilon \to 0} F_Z(a-\epsilon) = F_Z(a).$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

F_{Z} (z)

$F_Z(z)$

Z

$Z$

lim_{ϵ \to 0} P (a - ϵ < Z \leq a + ϵ)

$\lim_{\epsilon\to 0}P(a-\epsilon < Z \leq a+\epsilon)$

P {lim_{ϵ \to 0} (a - ϵ < Z < a + ϵ)}

$P\{\lim_{\epsilon\to 0} (a-\epsilon<Z<a+\epsilon)\}$

— Dilip Sarwate

-1

おそらく、より直感的な説明は、連続変数の場合、周囲の間隔（または半間隔）の累積確率に対するエッジ（たとえば、または）の寄与が無視できるほど小さいことです。 $a$ $b$

— イタマール
ソース