回答:
私の考えでは、大学院レベルで調査するいくつかのオプションは次のとおりです：機能分析（統計的定式化の自然なフレームワーク）、確率的プロセス、確率的制御（逐次分析は最適停止）、PDEのさまざまなフレーバー（多くの確率論的問題は次のように定式化されます）放物線および非線形PDE）。これらのほとんどすべてが学部レベルでの実際の分析を必要とします。理論的なものに興味がある場合は、これらのトピックを完全に処理するための前提条件として、理論を測定することも非常に重要です。複雑な分析にはいくつかの用途がありますが、上記よりは少ないです。確率（すなわち、調和関数）との関係はありますが、それだけの価値はないでしょう
可換代数と代数幾何学はあまり役に立たないでしょう（私が考えることができる1つの関連は、広く教えられていない代数統計です）。これらのトピックはまた、数学の確固たる背景がなければ非常に挑戦的です。
実際の分析を取得しますが、人々がそれを実行しているようには見えません。私たちが数学の学部生にインタビューするとき、彼らは実際の分析のツールを習得していないようです。積分のような簡単なことは彼らのほとんどにとって手の届かないものです。理由はまだわかりません。だから、私のアドバイス：まず第一にアプリケーションに注意を払います。
また、ODEおよびPDEコース、機能分析、微分幾何学も取得できます。もちろん、線形代数とテンソルも。すべてのアプリケーションに焦点を当てています。
可換代数と代数幾何学に関して、他の答えで最も扱われていない主題について、私の印象は代数統計を避けさえすればそれらなしで完全に得ることができるということです。ただし、代数統計を回避することは、多くのアプリケーションや、現在の研究や他の分野でのアプリケーションで非常に有名な機械/統計学習との共通部分があるため、今後ますます難しくなる可能性があります。可換代数と代数幾何学は、代数統計について最も具体的に学びたい主題です。たとえば、この質問への回答を参照してください：統計のための代数幾何学
対照的に、統計のすべてのサブフィールドは分析を使用します。（それほど複雑な分析ではありませんが、特性関数を理解するのに役立つかもしれませんが、まだ提起されていないようです。）専門の統計学者（例：教授）に会ったので、学部レベルの測定理論はおそらく十分だと思います。メジャー理論を軽視しますが、メジャー理論を本当に理解したい場合は、実際の分析の大学院レベルのコースが非常に役立ちます。学部のメジャー理論は、実際のラインのルベーグメジャーにのみ焦点を当てる傾向があります。これには、一般的なメジャーが必ずしも持つとは限らない多くの優れた特性があり、さらに無限メジャーです。対照的に、大学院レベルの実際の分析コースでは、抽象的な指標に重点が置かれる傾向があります。これにより、一般に確率測度が理解しやすくなり、連続した確率測度と離散確率測度の関係がより明確になります。つまり、両方の主題が1つのフレームワーク内で初めて一緒に見えるようになります。同様に、そのようなコースでコルモゴロフ拡張定理を証明するかもしれません。そして、連続的な時間における確率過程の厳密な理解には、抽象的な尺度の理解が本当に不可欠です。連続した場合ほど重要ではありませんが、離散時間での確率過程の理解にも役立ちます。初めて両方の主題が1つのフレームワーク内に集まるのを初めて見ることができます。同様に、そのようなコースでコルモゴロフ拡張定理を証明するかもしれません。そして、連続的な時間における確率過程の厳密な理解には、抽象的な尺度の理解が本当に不可欠です。連続した場合ほど重要ではありませんが、離散時間での確率過程の理解にも役立ちます。初めて両方の主題が1つのフレームワーク内に集まるのを初めて見ることができます。同様に、そのようなコースでコルモゴロフ拡張定理を証明するかもしれません。そして、連続的な時間における確率過程の厳密な理解には、抽象的な尺度の理解が本当に不可欠です。連続した場合ほど重要ではありませんが、離散時間での確率過程の理解にも役立ちます。