指数加重移動歪度/尖度

指数加重移動平均と標準プロセスの偏差を計算するためのよく知られたオンライン式がある$(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$。平均して、

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

分散について

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

ここから標準偏差を計算できます。

指数加重された第3および第4中心モーメントのオンライン計算のための同様の公式はありますか？私の直感は、彼らが形をとるべきだということです

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

そして

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

あなたは歪度計算することができたからおよび尖度K N = M 4 、N / σ 4 Nが、私は、機能のための閉形式の単純なを見つけることができるされていませんでしたFとG。$\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$$k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$$f$$g$

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編集：いくつかの詳細情報。移動分散の更新式は、指数加重移動共分散の式の特殊なケースです。

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

こことˉ Y Nの指数関数的な移動手段であるX及びYは。間の非対称のxとyの錯覚であり、あなたがそれに気づくとき消えYが- ˉ Y N = （1 - α ）（Y - ˉ Y N - 1）。$\bar{x}_n$$\bar{y}_n$$x$$y$$x$$y$$y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

このような式は、中心モーメントを期待値として記述し、期待値の重みが指数関数的であると理解し、関数f （x ）に対して$E_n(\cdot)$$f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

It's easy to derive the updating formulas for the mean and variance using this relation, but it's proving to be more tricky for the third and fourth central moments.

The formulas are straightforward but they are not as simple as intimated in the question.

Let $Y$ be the previous EWMA and let $X = x_n$, which is presumed independent of $Y$. By definition, the new weighted average is $Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$ for a constant value $\alpha$. For notational convenience, set $\beta = 1-\alpha$. Let $F$ denote the CDF of a random variable and $\phi$ denote its moment generating function, so that

$$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$$

With Kendall and Stuart, let $\mu_k^{'}(Z)$ denote the non-central moment of order $k$ for the random variable $Z$; that is, $\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$. The skewness and kurtosis are expressible in terms of the $\mu_k^{'}$ for $k = 1,2,3,4$; for example, the skewness is defined as $\mu_3 / \mu_2^{3/2}$ where

$$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$$

are the third and second central moments, respectively.

By standard elementary results,

$$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$$

To obtain the desired non-central moments, multiply the latter power series through fourth order in $t$ and equate the result term-by-term with the terms in $\phi_Z(t)$.

I think that the following updating formula works for the third moment, although I'd be glad to have someone check it:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Updating formula for the kurtosis still open...