三角分布のMLE？

通常のMLE手順を三角形の分布に適用することは可能ですか？-私は試していますが、分布が定義されている方法によって、数学のいずれかのステップでブロックされているようです。私は、cの上下のサンプル数を知っている（cを知らなくても）という事実を使用しようとしています。nがサンプルの総数である場合、これらの2つの数はcnと（1-c）nです。しかし、それは導出には役立たないようです。瞬間のモーメントは、cの推定量をほとんど問題なく与えます。ここでMLEに対する閉塞の正確な性質は何ですか（実際にある場合）？

詳細：

さんが考えるで[ 0 、1 ]と上に定義されたディストリビューション[ 0 、1 ]によって： $c$$[0,1]$$[0,1]$

X <Cの場合、F（X、C）=2（1-X$f(x;c) = \frac{2x}{c}$
c <= xの場合 $f(x;c) = \frac{2(1-x)}{(1-c)}$

このサンプルから与えられたcの対数尤度からこの分布から iidサンプル{ x i }を取りましょう：$n$$\{x_{i}\}$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}ln(f(x_{i}|c))$

私は、その後の形与えられたという事実を使用しようとしています、我々はそれを知っているCをn個のサンプルは、（不明）を下回るだろうC、および（1 - C ）のnの上に落ちる、C。私見、これはこうして対数尤度の表現の総和を分解することを可能にします：$f$$cn$$c$$(1-c)n$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{cn}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{(1-c)n}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

$c$$c$

$\hat{l}(c | \{x_{i}\}) = \sum_{i=1}^{n}\{x_{i}<c\}ln\frac{2 x_{i}}{c} + \sum_{i=1}^{n}\{c<=x_{i}\}ln\frac{2(1-x_{i})}{1-c}$

しかし、指標の導出も簡単ではないように思われますが、ディラックのデルタは継続可能です（製品を導出する必要があるため、指標がまだある間）。

だから、ここで私はMLEでブロックされています。何か案が？

通常のMLE手順を三角形の分布に適用することは可能ですか？

もちろん！処理する奇妙な点がいくつかありますが、この場合、MLEを計算することは可能です。

ただし、「通常の手順」で「対数尤度の導関数を取り、それをゼロに設定する」ことを意味する場合は、おそらくそうではありません。

ここでMLEに対する閉塞の正確な性質は何ですか（実際にある場合）？

可能性を描いてみましたか？

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質問を明確にした後のフォローアップ：

可能性を引き出すことについての質問は、怠惰な解説ではなく、問題の中心でした。

MLEはデリバティブを取ることを含みます

いいえ。MLEは関数のargmaxを見つけることを含みます。これは、特定の条件下で導関数のゼロを見つけることのみを含みます...これはここでは成立しません。せいぜい、そうすることができれば、いくつかの極小値を特定できます。

私の以前の質問が示唆したように、可能性を見てください。

$y$

0.5067705 0.2345473 0.4121822 0.3780912 0.3085981 0.3867052 0.4177924
0.5009028 0.8420312 0.2588613

$c$

灰色の線はデータ値を示しています（値をより適切に分離するために、おそらく新しいサンプルを生成しているはずです）。黒い点は、これらの値の可能性/対数尤度を示します。

詳細を確認するために、可能性の最大値に近いズームインを示します。

尤度からわかるように、次数統計の多くでは、尤度関数に鋭い「コーナー」があります。これは導関数が存在しないポイントです（これは驚くべきことではありません。元のpdfにコーナーがあり、 PDFの製品）。これは（次数統計に尖点がある）三角分布の場合であり、最大値は常に次数統計の1つで発生します。（その尖点は、次数統計で発生します。これは、三角形の分布に固有のものではありません。たとえば、ラプラス密度にはコーナーがあり、その結果、その中心の可能性は各次数統計で1つになります。）

私のサンプルで発生するように、最大​​値は4次の統計として発生します。0.3780912

$c$$c$

参考になるのは、ヨハンファンドープとサミュエルコッツによる「Beyond Beta」の第1章です。偶然にも、第1章は本の無料の「サンプル」章です。ここからダウンロードできます。

三角分布のこの問題についてのエディ・オリバーによる素敵な小さな論文があります、私はアメリカの統計学者（それは基本的に同じポイントを作ります;それは教師のコーナーであったと思います）で思います。なんとか見つけられたら、参考にさせていただきます。

編集：ここにあります：

EH Oliver（1972）、A Maximum Likelihood Oddity、
The American Statistician、Vol 26、Issue 3、June、p43-44

（出版社リンク）

簡単に理解できる場合は一見の価値がありますが、DorpとKotzの章では関連する問題のほとんどを取り上げているため、重要ではありません。

コメント内の質問のフォローアップとして-コーナーを「平滑化」する方法を見つけることができたとしても、複数の極大値を取得できるという事実に対処する必要があります。

ただし、（モーメント法よりも優れた）非常に優れた特性をもつ推定量を見つけることができる場合があります。しかし、（0,1）の三角形のMLは、数行のコードです。

膨大な量のデータであれば、それでも対応できますが、別の問題だと思います。たとえば、すべてのデータポイントが最大になるとは限らないため、作業量が減り、他にもいくつかの節約ができます。