共分散、相互共分散、自己相関/相互相関、パワースペクトル密度を直感的に理解

現在、ECE学士号の基本統計のファイナルを勉強しています。

数学はほとんど落ち込んでいると思いますが、数字が実際に何を意味するのかを直感的に理解できていません。

E [X]は、確率で重み付けされたXのすべての結果の「加重平均」です。

Var [X]は、E [X]の2乗から予想される分散を与えるため、分布の「ぼやけ」について何かを教えてくれます。

他のプロパティは式を知っていますが、直感に欠けています。誰かがそれを助けるための良い説明/リソースを持っていますか？

$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$$X$$Y$

$\sigma_x \cdot \sigma_y$

$t$$(t-1)$$(t-2)$、など。高い自己相関は、系列の変化が遅いこと、または同等に、現在の値が以前の値から予測可能であることを示している可能性があります。分散と共分散はスカラー（つまり、単一の値）ですが、自己相関はベクトルです。つまり、各 "ラグ"または "ギャップ"の自己相関値を取得します。ホワイトノイズはランダムであるため、非常にフラットな自己相関関数を持っています。近くのピクセルの色と明るさが似ていることが多いため、自然画像は通常、広い空間的自己相関を持っています。エコーには、中心付近にピークがあり（音は自己相似であるため）、無音時に平坦な領域があり、次にエコー自体を構成する別のピークがあります。

$X$$Y$$X$$X$$Y$$X$$Y$

自己共分散及び相互共分散関数は、それらの相関同等物のようなものが、スケーリングされていません。これは、共分散と相関の違いと同じです。

パワースペクトル密度は、信号のパワーが様々な周波数上に分散する方法を説明します。純粋なトーン（つまり、正弦波）のPSDは、トーンの周波数を除いてフラットです。自然主義的な信号と音は、高調波、倍音、共振などを備えたはるかに複雑なPSDを持っています。自己相関関数のフーリエ変換はPSDであるため、他の概念に関連しています。