対称分布の中心モーメント

対称分布の中心モーメントが奇数の場合ゼロであることを示しようとしています。たとえば、3番目の中心モーメントことを示すことから始めましたここからどこへ行くべきかわからない、何か提案はありますか？これを証明するより良い方法はありますか？

f_{x} (a + x) = f_{x} (a - x)

${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$

E [(X - u)^{3}] = 0 .

${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$

E [(X - u)^{3}] = E [X^{3}] - 3 u E [X^{2}] + 3 u^{2} E [X] - u^{3} .

${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$

mathematical-statistics expected-value moments

— user18262
ソース

ヒント：簡単にするために、はについて対称であると仮定し。次に、と間の積分を分割し、対称性の仮定を使用することにより、ことを示すことができます。次に、に対してであることを示す。これは、積分を分割し、同様の引数を使用することにより、再度行うことができます。

f

$f$

0

$0$

E [X] = u = 0

$E[X]=u=0$

(- \infty, 0)

$(-\infty,0)$

[0, \infty)

$[0,\infty)$

E [X^{k}] = 0

$E[X^k]=0$

k = 3, 5, 7, 9, . . .

$k=3,5,7,9,...$

ただし、ヒント、@ Procrastinatorの提案（+1）に注意してください。そうでなければ、あなたは何かを「証明」するかもしれません！分割積分の各部分が有限であることを示す必要があります。（1

— 枢機卿

とはどう違いますか？

a

$a$

u

$u$

— Henry

@DilipSarwate包括的な回答を意図していないコメントで特徴点を探すのではなく、回答にそれらすべての考えを取り入れませんか？

@マクロ：本当に残念。先延ばしは、ここ数か月で明らかに失った（または活動を大幅に減らした）非常に重要な貢献者（私の考えでは）のリストに加わりました。プラス面としては、最近の好調な参加を見るのはとても素晴らしいことです！今後もよろしくお願いいたします。

— 2013年

この答えは、そのようなことが本質的なアイデアに頻繁に到達するので、できるだけ基本的なデモを行うことを目的としています。のみ（代数的操作の最も簡単な種類を超えて）必要な事実は、統合の直線性（または、同等に、期待の）、積分の変数式の変更、および統一へのPDFの統合という公理的結果です。

このデモンストレーションの動機は、がについて対称である場合、期待値に対する任意の数量の寄与は、数量と同じ重みを持つことになるという直観です。、これはとが反対側にありから等しく離れているためです。次に、すべてのについてとすると、すべてがキャンセルされ、期待値はゼロでなければなりません。したがって、との関係が出発点です。 $f_X$ $a$ $G(x)$ $\mathbb{E}_X(G(X))$ $G(2a-x)$ $x$ $2a-x$ $a$ $G(x) = -G(2a-x)$ $x$ $x$ $2a-x$

と書くことにより、対称性は次の関係によっても表現できることに注意してください。 $y = x + a$

f_{X} (y) = f_{X} (2 a - y)

$f_X(y) = f_X(2a-y)$

すべての。任意の測定可能な関数について、からへの変数の1対1の変更は、をに変更する一方で、積分の方向を逆にして、 $y$ $G$ $x$ $2a-x$ $dx$ $-dx$

E_{X} (G (X)) = \int G (x) f_{X} (x) d x = \int G (x) f_{X} (2 a - x) d x = \int G (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$

この期待が存在する（つまり、積分が収束する）と仮定すると、積分の線形性は、

\int (G (x) - G (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 0.

$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$

、の期待値として定義されているの奇妙なモーメントを考えます。これらの場合 $a$ $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$ $k = 1, 3, 5, \ldots$

\begin{aligned} G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x) & = (x - a)^{k} - (2 a - x - a)^{k} \\ = (x - a)^{k} - (a - x)^{k} \\ = (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k} \\ = 2 (x - a)^{k}, \end{aligned}

$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$

正確にはが奇数だからです。上記の結果を適用すると、 $k$

0 = \int (G_{k, a} (x) - G_{k, a} (2 a - x)) f_{X} (x) d x = 2 \int (x - a)^{k} f_{X} (x) d x .

$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$

右側は番目のモーメントの2倍であるため、で割ると、このモーメントが存在する場合は常にゼロになります。 $k$ $a$ $2$

最後に、（存在すると仮定して）平均は

μ_{X} = E_{X} (X) = \int x f_{X} (x) d x = \int (2 a - x) f_{X} (x) d x .

$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$

もう一度線形性を利用し、ことをは確率分布であるため、最後の等式を再配置して読み取ることができます。 $\int f_X(x)dx=1$ $f_X$

2 μ_{X} = 2 \int x f_{X} (x) d x = 2 a \int f_{X} (x) d x = 2 a \times 1 = 2 a

$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$

一意の解ます。したがってに関する以前のモーメントの計算はすべて、本当に中心的なモーメント、QEDです。 $\mu_X = a$ $a$

ポストワード

いくつかの場所でで除算する必要性は、測定可能な関数に作用する次数グループがあるという事実に関連しています（つまり、周りの線の反射によって生成されるグループ）。より一般的には、対称性の概念は、任意のグループのアクションに一般化できます。グループ表現の理論は、キャラクターが $2$ $2$ $a$ 関数に対するそのアクションの重要性は自明ではなく、自明な性質に直角であり、それは関数の期待値がゼロでなければならないことを意味します。直交関係には、グループの追加（または統合）が含まれますが、グループのサイズは常に分母に表示されます。有限の場合はそのカーディナリティ、コンパクトの場合はボリュームです。

この一般化の美しさは、ベンゼン分子（12要素の対称グループを持つ）によって例示される対称システムの運動方程式（または量子力学）の運動方程式など、対称性が明白なアプリケーションで明らかになります。（QMアプリケーションは、期待値を明示的に計算するため、ここで最も関連性があります。）物理的関心の値（通常、テンソルの多次元積分を含みます）は、単に被積分関数。たとえば、さまざまな対称分子の「色」（さまざまな波長でのスペクトル）は、このアプローチで最初から決定できます。

— whuber
ソース

（+1）「についての奇妙な瞬間を考える」で始まるセクションでは、3行目は読むべきだと思います。

a

$a$

= (1^{k} - (- 1)^{k}) (x - a)^{k}

$=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$

— 通常の2013年

@Max Yep：よく読んでいただきありがとうございます！（現在は修正されています。）

— whuber