モーメント生成関数と特性関数の間のリンク

モーメント生成関数と特性関数の間のリンクを理解しようとしています。モーメント生成関数は次のように定義されます：

M_{バツ} （ t ） = E （ \exp （ t バツ ） ） = 1 + \frac{t E （ バツ ）}{1} + \frac{t^{2} E （ {バツ}^{2} ）}{2 ！} + \dots + \frac{t^{n} E （ {バツ}^{n} ）}{n ！}

$M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \dots + \frac{t^n E(X^n)}{n!}$

の級数展開を使用して、ランダム変数の分布のすべてのモーメントを見つけることができますバツ。 $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$

特性関数は次のように定義されます：

φ_{バツ} （ t ） = E （ \exp （ 私 t バツ ） ） = 1 + \frac{私 t E （ バツ ）}{1} - \frac{t^{2} E （ {バツ}^{2} ）}{2 ！} + \dots + \frac{（ 私 t ）^{n} E （ {バツ}^{n} ）}{n ！}

$\varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{it E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac{(it)^n E(X^n)}{n!}$

虚数がどの情報を提供しているかを完全には理解していません。私がいることがわかりしたがって、私たちが唯一持っていない特徴的な機能で、なぜ我々は特徴的な機能で瞬間を減算する必要がありますか？数学的アイデアは何ですか？ $i$ $i^2 = -1$ $+$

probability moments mgf method-of-moments characteristic-function

— ジュゼッペ
ソース

重要な点の1つは、モーメント生成関数が常に有限であるとは限らないことです！（たとえば、この質問を参照してください。）分布の収束に関する一般的な理論を構築したい場合は、できるだけ多くのオブジェクトで動作できるようにしたいと思います。もちろん、以来、ランダム変数の特性関数は有限です。

| \exp (i t X) | \leq 1

$|\exp(itX)| \leq 1$

— 枢機

テイラー展開の類似性により、存在する瞬間を読み取ることができますが、すべての分布に瞬間があるわけではないため、これらの関数への関心はこれをはるかに超えています！:)

— 枢機

もう1つの注意点は、MGFはランダム変数のラプラス変換であり、CFはフーリエ変換であることです。これらの積分変換の間には基本的な関係があります。こちらをご覧ください。

— tchakravarty

CFは、確率分布の逆フーリエ変換（フーリエ変換ではない）であると思いましたか？

— ジュゼッペ

区別は、指数の符号の問題であり、おそらく乗算定数です。

— Glen_b-モニカを復活

コメントで述べたように、特性関数はモジュラス関数の統合を必要とするため、常に存在します。ただし、モーメント生成関数は、特に任意の順序のモーメントの存在を必要とするため、存在する必要はありません。 $1$

がすべてので積分可能であることがわかったら、複素数ごとにを定義できます。次に、およびます。 $E[e^{tX}]$ $t$ $g(z):=E[e^{zX}]$ $z$ $M_X(t)=g(t)$ $\varphi_X(t)=g(it)$

— ダビデ・ギラウド
ソース