3次の漸近線は存在しますか？

統計のほとんどの漸近的な結果は、として、推定器（MLEなど）が尤度関数の2次テイラー展開に基づいて正規分布に収束することを証明します。ベイジアン文学、「ベイジアン中心極限定理」にも同様の結果があると思います。これは、後部がとして法線に漸近的に収束することを示しています。$n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$

私の質問は-分布は、テイラー級数の第3項に基づいて、正規になる前に何かに収束するのか？それとも、一般的にこれを行うことはできませんか？

あなたはエッジワースシリーズを探していますよね？

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

（エッジワースは1926年に死亡したことに注意してください。最も有名な統計学者のはずです。）

シーケンスが1つのものに「収束」してから、別のものに「収束」することはできません。漸近展開の高次項はゼロになります。彼らがあなたに言うことは、nの与えられた値に対してどれだけゼロに近いかということです。$n$

（例として）中央極限定理の場合、適切な展開は、特性関数の対数、つまりキュムラント生成関数（cgf）の展開です。分布の標準化により、cgfの0番目、1番目、および2番目の項が修正されます。係数がキュムラントである残りの項は、に規則正しく依存します。CLTに発生標準化（の和割るNに何か比例によってランダム変数N 1 / 2収束が起こらない--without）が生じ、M 番目のキュムラント-すべての後に依存するM 番目のモーメント-に（nで割る$n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$が、同時に我々が加算されるので、n個の用語は、最終結果が点である m個目次項はに比例し、N / N M / 2 = N - （M - 2 ）/ 2。こうして標準和の第三のキュムラントはに比例し、1 / N 1 / 2、第キュムラントはに比例する1 /$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$、 等々。これらは高次の用語です。（詳細については、たとえば、Yuval Filmusのこのペーパーを参照してください。）

一般に、高い負のパワーは、低い負のパワーよりもはるかに小さくなります。nの値を十分に大きくすることで、常にこれを保証できます。したがって、nが非常に大きい場合、nのすべての負のべきを無視できます。それらはゼロに収束します。収束への道に沿って、出発究極限界からは、追加用語によって増加精度で測定する：1 / N 1 / 2という用語は、初期の「補正」、または制限値からの逸脱です。次の1 /$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$termは、それに追加された、より小さく、より速く消失する修正です。簡単に言えば、追加の用語は、シーケンスが限界に収束する速さを示しています。

これらの追加の用語は、nの有限（通常は小さい）値の修正に役立ちます。彼らのような、この点ですべての時間を示し、t検定のChenの変形三次（悪用、1 / N 1 / 2）用語。$n$$1/n^{1/2}$

洞察力に富んだ質問に答えようとしています。テイラー級数の第3項を含めると、真の分布への級数の収束速度が向上します。ただし、3回目以降の瞬間の使用は（限られた経験では）見ていません。

$n^{1/2}$$n^{1/2}$$n$

したがって、あなたの質問に対する答えはnoであるべきだと思います。漸近分布は正規分布に収束します（CLTによる、LindbergのCLTの規則性条件下）。ただし、高次の項を使用すると、漸近分布への収束率が増加する場合があります。

間違いなく私の領域ではありませんが、3次以上の漸近線が存在すると確信しています。これは助けですか？

ロバートL.ストローマン。高次漸近近似：ラプラス、サドルポイント、および関連する方法 Journal of the American Statistics Association Vol。95、No。452（2000年12月）、pp。1358-1364