同じ分布族からの2つのランダム変数が同じ期待値と分散を持つが、より高いモーメントが異なる可能性はありますか？

ロケーションスケールの家族の意味を考えていました。私の理解では、ロケーションスケールファミリーのすべてのメンバーについて、パラメーターがロケーションとbスケールである場合、Z = （X − a ）/ bの分布はパラメーターに依存せず、それに属するすべてのXについて同じです。家族。$X$$a$$b$$Z =(X-a)/b$$X$

だから私の質問は、同じ分布ファミリーからの2つのランダムが標準化されているが、同じ分布のランダム変数にならない例を提供できますか？

セイとYは、同じ分布族から来た（家族と私は例ノーマルまたは両方ガンマなどの両方の意味で...）。定義：$X$$Y$

$Z_1 = \dfrac{X-\mu}{\sigma}$

$Z_2 = \dfrac{Y-\mu}{\sigma}$

我々は両方のことを知っている及びZ 2は同じ期待と分散、持っているμ Z = 0 、σ 2 Z = 1。$Z_1$$Z_2$$\mu_Z =0, \sigma^2_Z =1$

しかし、彼らは異なるより高い瞬間を持つことができますか？

この質問に答えようとする私の試みは、とYの分布が2つ以上のパラメーターに依存している場合、それよりも大きくなる可能性があるということです。そして、私は3つのパラメーターを持つ一般化されたt − s t u d e n tについて考えています。$X$$Y$$t-student$

パラメータの数がある場合でも、とXとYが同じ期待と分散と同じ分布族から来た、それはその意味がZ 1及びZ 2は同じ分布（高い瞬間を）持っていますか？$\le2$$X$$Y$$Z_1$$Z_2$

分布のファミリーが何であるか、およびフリーパラメーターとフリープラス固定（割り当てられた）パラメーターを比較する方法については、明らかに混乱があります。これらの質問は、OPの意図とこの回答に関係のない余談です。混乱するので、ここではファミリーという単語は使用しません。たとえば、あるソースによるファミリは、形状パラメータを変化させた結果です。こと@whuber状態ファミリーのA「パラメータ」はℝのサブセットから連続マップでnは、その画像、そのファミリーである分布の空間に、その通常のトポロジと、。私は単語の意図された用法の両方をカバーする単語形式を使用します$^n$ ファミリとパラメータの識別とカウント。たとえば、式$x^2-2x+4$は 2次式の形式、つまり、$a_2x^2+a_1x+a_0$あり、$a_1=0$場合でも式は2次式です。ただし、$a_2=0$式は線形であり、フォームは2次形状の項を含むのに十分なものではありません。ファミリーという単語を適切な統計的文脈で使用したい人は、別の質問に貢献することをお勧めします。

「彼らは異なるより高い瞬間を持つことができますか？」という質問に答えましょう。そのような例はたくさんあります。ちなみに、問題は対称的なPDFに関するものであるように見えます。対称的なPDFは、単純なバイパラメーターの場合に位置とスケールを持つ傾向があるものです。ロジック：2つの同一の（位置、スケール）パラメーターを持つ異なる形状の2つの密度関数があるとします。次に、形状を調整する形状パラメーターがあるか、密度関数に共通の形状パラメーターがないため、共通の形式の密度関数ではありません。

以下は、形状パラメーターがそれにどのように影響するかを示す例です。一般エラー密度関数と、ここでは、自由に選択尖度を持っているように見えるの答えです。

Skbkekasによる-独自の作業、CC BY-SA 3.0、https： //commons.wikimedia.org/w/index.php？curid = 6057753

PDF（別名「確率」密度関数、「確率」という言葉は不必要であることに注意）は

$$\dfrac{\beta}{2\alpha\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)} \; e^{-\Big(\dfrac{|x-\mu|}{\alpha}\Big)^\beta}$$

平均と位置は$\mu$、スケールは$\alpha$、$\beta$は形状です。対称PDFは、最も単純な2つのパラメーターケースとして位置とスケールを持つことが多いのに対し、ガンマPDFなどの非対称PDFは、形状とスケールが最も単純なケースパラメーターである傾向があるため、表示する方が簡単です。誤り密度関数を続けると、分散である$\dfrac{\alpha^2\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}$、歪度は$0$、尖度は$\dfrac{\Gamma\Big(\dfrac{5}{\beta}\Big)\Gamma\Big(\dfrac{1}{\beta}\Big)}{\Gamma\Big(\dfrac{3}{\beta}\Big)^2}-3$。我々は1であると分散を設定した場合このように、我々はの値割り当てる$\alpha$から$\alpha ^2=\dfrac{\Gamma \left(\dfrac{1}{\beta }\right)}{\Gamma \left(\dfrac{3}{\beta }\right)}$変えて$\beta>0$尖度は範囲で選択可能であるように、$-0.601114$する$\infty$。

つまり、より高次のモーメントを変化させたい場合、および平均0と分散1を維持したい場合は、形状を変化させる必要があります。これは、3つのパラメータを意味します。一般的には、1）平均またはその他の場所の適切な尺度、2）分散を調整するためのスケールまたはその他の変動性の尺度、および3）形状です。それには、少なくとも3つのパラメータが必要です。

置換を行う場合、$\beta=2$、$\alpha=\sqrt{2}\sigma$上記PDF、我々が入手で

$$\frac{e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma }\;,$$

$-t$$-t$$\textit{df}\geq2$$\textit{df}<2$$\geq1$$-t$$\textit{df}\rightarrow\infty$

これについてさらに説明します。例として、ゼロの平均と1の分散を持つ2つのパラメーターの多くの任意の密度関数から2つを選択できます。ただし、すべてが同じ形式になるわけではありません。ただし、質問は、異なる形式ではなく、SAME形式の密度関数に関係します。これは定義の問題であり、私の意見は異なるため、どの密度関数が同じ形式を持つかは任意の割り当てであるという主張がなされました。ある密度関数を別の密度関数に変換するための置換を行うことができる、またはできないため、これが恣意的であることに同意しません。最初のケースでは、密度関数は類似しており、置換によって密度関数が同等でないことを示すことができる場合、それらの密度関数は異なる形式になります。

$-t$$-t$$-t$

$-t$$-t$

「公式に名前が付けられたパラメータ化された分布ファミリ」の例が必要な場合は、一般化されたガンマ分布https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_gamma_distributionを調べることができます。この分布ファミリには3つのパラメータがあるため、平均を修正できますと分散、それでも高いモーメントを変化させる自由があります。wikiページから、代数は魅力的ではないように見えます。数値で計算したいのです。統計アプリケーションについては、このサイトでgamsの拡張であるgamlssを検索してください。モデル、それ自体は「位置、スケール、形状」のパラメータを持つglmの一般化です。

$t$

$\epsilon_1$$\mathcal{N}(0,1)$$\epsilon_2$$t$$\sqrt\frac{1}{3}$

$$X=\mu+\sigma\epsilon_1\qquad\text{and}\qquad Y=\mu+\sigma\epsilon_2$$

明らかに、たとえば固定密度が存在することを示すなど、このファミリの定義にさらにルールを設定した場合$f$$X$

$$\frac{1}{\sigma^d} f(\{x-\mu\}/\sigma)$$

同じロケーションスケールファミリーに由来する2つの確率変数が同じ平均と分散を持つことができるが、少なくとも1つの異なるより高い瞬間があるかどうかを尋ねていると思います。答えはいいえだ。

$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X$$a_1>0, a_2>0, b_1, b_2$$X_1 \stackrel{d}{=} a_1 X + b_1$$X_2 \stackrel{d}{=} a_2 X + b_2$$X_1$$X_2$

1. $E[X_1] = E[X_2] \implies a_1 E[X] + b_1 = a_2 E[X] + b_2$
2. $\operatorname{Var}[X_1] = \operatorname{Var}[X_2] \implies a_1^2 \operatorname{Var}[X] = a_2^2 \operatorname{Var}[X]$

$\operatorname{Var}[X] = 0$$X_1=E[X_1]=X_2=E[X_2]$$1$$X_1$$X_2$$\operatorname{Var}[X] \neq 0$$|a_1|=|a_2|$$a_1>0$$a_2>0$$a_1=a_2$$b_1=b_2$

$$E[X_1^k] = E[(a_1X+b_1)^k] = E[(a_2X+b_2)^k] = E[X_2^k],$$ $k$$X_1$$X_2$

質問はさまざまな方法で解釈できるため、この回答を2つの部分に分けます。

• A：配布ファミリ。
• B：ロケーションスケールの配布ファミリ。

ケースAの問題は、形状パラメータを使用して多くのファミリが簡単に回答/実証できます。

$\mathbb{R}$$\mathbb{R_{>0}}$

A：同じ2つのパラメーター分布ファミリーからの2つの異なる分布は、同じ平均と分散を持つことができますか？

答えは「はい」であり、明示的に言及された例の1つを使用してすでに示されている可能性があります。

正規化されたガンマ分布のファミリー

$Z = \frac{X-\mu}{\sigma}$$X$$Z$

$$F_Z(z;k) = \begin{cases} 0 & \quad \text{if} & z < -\sqrt{k}\\ \frac{1}{\Gamma(k)} \gamma(k, {z\sqrt{k}+k}) & \quad \text{if} & z \geq -\sqrt{k} \end{cases}$$

$\gamma$

$Z_1$$Z_2$$\mu=0$$\sigma=1$$k$

B：同じ2つのパラメーターのロケーションスケール分布ファミリーからの2つの異なる分布が同じ平均と分散を持つことができますか？

スムーズファミリのみを考慮した場合、答えはノーだと思います（スムーズ：パラメータの小さな変更は、分布/関数/曲線の小さな変更になります）。しかし、その答えはささいなものではなく、より一般的な（滑らかでない）ファミリを使用する場合は、yesと言うことができます。ただし、これらのファミリは理論的にのみ存在し、実用的な関連性はありません。

翻訳とスケーリングによって単一の分布からロケーションスケールファミリを生成する

$f(x)$

$$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma}f(\frac{x-\mu}{\sigma})$$

このような方法で生成できるロケーションスケールファミリの場合：

• $f(x;\mu_1,\sigma_1)$$f(x;\mu_2,\sigma_2)$$f(x;\mu_1,\sigma_1) = f(x;\mu_2,\sigma_2)$

2つのパラメータロケーションスケールファミリすべてについて、それらのメンバー分布を単一のメンバー分布から変換およびスケーリングによって生成できますか？

$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

正規分布のファミリーのような特定の2つのパラメーターのロケーションスケールファミリーの場合、上記のプロセス（単一のサンプルメンバーのスケーリングと変換）に従って生成できることを示すことはそれほど難しくありません。

変換とスケーリングによって、1つのメンバーから2つごとのパラメーターロケーションスケールファミリを生成できるかどうか疑問に思うかもしれません。または競合する声明：思われるため、「？2つのパラメータの位置規模なファミリーできるのと同じ平均と分散を持つ2つの異なるメンバーの分布が含まれている」、必要な家族がの労働組合であることを複数の各翻訳によって生成され亜科とスケーリング。

ケース1：2つの変数でパラメーター化された、一般化された学生のt分布のファミリー

$R^2$$R^3$$\theta_1$$\theta_2$

（3つのパラメーター）一般化されたスチューデントのt分布を使用してみましょう。

$f(x;\nu,\mu,\sigma) = \frac{\Gamma \left( \frac{\nu + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\nu}{2} \right) \sqrt{\pi\nu}\sigma} \left(1 + \frac{1}{\nu} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2 \right)^{-\frac{\nu+1}{2}}$

$$\begin{array}{rcl} \mu &=& \tan (\theta_1)\\ \sigma &=& \theta_2\\ \nu &=& \lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor \end{array}$$

その後、私たちは持っています

$f(x;\theta_1,\theta_2) = \frac{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor + 1}{2} \right) }{\Gamma \left( \frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}{2} \right) \sqrt{\pi\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor}\theta_2} \left(1 + \frac{1}{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor} \left( \frac{x-\tan(\theta_1)}{\theta_2} \right)^2 \right)^{-\frac{\lfloor 0.5+\theta_1/\pi \rfloor+1}{2}}$

これは、単一のメンバーのみの変換とスケーリングでは生成できない2つのパラメーターのロケーションスケールファミリー（非常に有用ではありません）と見なすことができます。

ケース2：スキューがゼロでない単一分布の負のスケーリングによって生成されたロケーションスケールファミリー

$x \mapsto f(x/b + a)$$b$

スムーズな家族

$f:\mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^3$ペアノ曲線などの機能を実行する連続関数）。

$\theta_1$$\theta_2$$\theta_1$$\theta_2$$\mu$$\sigma$

$$\begin{array}{rcl} \theta_1 &= &f_{\theta_1}(\mu,\sigma) \\ \theta_2 &=& f_{\theta_2}(\mu,\sigma)\end{array}$$

$f_{\theta_1}(\mu,\sigma)$$\mu$$\sigma$

$\theta_1$$\theta_1$$f(x;\theta_1)$$x$