多数の法則が失敗するのはいつですか？

問題は、タイトルに何が記載されているかということだけです： 多数の法則がいつ失敗するのか？ つまり、イベントの頻度はどのような場合に理論的な確率になりませんか？

probability mathematical-statistics law-of-large-numbers

（コルモゴロフの）2つの定理があり、両方とも期待値が有限であることを必要とします。変数は、サンプリングが独立の分散であるIID、第二、ある場合に最初に保持 $X_n$ を満たします

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} < \infty

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} < \infty$

すべての $X_n$ に期待値0があるが、その分散が $n^2$ ため、条件が明らかに失敗するとします。それではどうなりますか？推定平均を計算することはできますが、サンプルを深くするほど平均は0になりません。サンプリングを続けると、さらに逸脱する傾向があります。

例を挙げましょう。言う均一である上記条件はepically失敗することになります。 $X_n$ $U(-n2^n , n2^n)$

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{V (X_{n})}{n^{2}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n^{2} 2^{2 n + 2}}{12} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{3} \sum_{n = 1}^{\infty} 4^{n} = \infty .

$\sum_{n=1}^\infty \frac{V(X_n)}{n^2} = \sum_{n=1}^\infty \frac{n^2 2^{2n+2}}{12}\frac{1}{n^2} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty 4^n = \infty.$

それに注意することによって

{\bar{X}}_{n} = \frac{X_{n}}{n} + \frac{n - 1}{n} {\bar{X}}_{n - 1},

$\bar{X}_n = \frac{X_n}{n} + \frac{n-1}{n}\bar{X}_{n-1},$

私たちは、計算された平均ことを誘導によって参照区間内に常にある。同じ式を用いて、我々はまた、より大きなチャンス常に存在することがわかりそのの外側にある。確かに、 $\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $n+1$ $1/8$ $\bar{X}_{n+1}$ $(-2^n, 2^n)$ 均一である外部と嘘確率。一方、 $\frac{X_{n+1}}{n+1}$ $U(-2^{n+1},2^{n+1})$ $(-2^n, 2^n)$ $1/4$ である誘導により、および対称性によって、それが確率で陽性である。これらの観察から、その直後の大きいほどより又はより小さいより大きい確率で、それぞれ。その確率は $\frac{n}{n+1}\bar{X}_n$ $(-2^n, 2^n)$ $1/2$ $\bar{X}_{n+1}$ $2^n$ $-2^n$ $1/16$ よりも大きいのように、0への収束が存在しないことができ無限大に進みます。 $|\bar{X}_{n+1}| > 2^n$ $1/8$ $n$

さて、あなたの質問に具体的に答えるために、イベント考えてみましょう。私がよく理解していれば、「次の文はどのような条件で偽ですか」と尋ねます。 $A$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} 1_{A} (X_{k}) = P (X \in A), [P] a . s .

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^{n} 1_A(X_k) = P(X \in A), \; [P]\;a.s.$

ここで、インジケータイベントの関数である、すなわちならばとさもなければ及び同一分布（等分布している）。 $1_A$ $A$ $1_A(X_k) = 1$ $X_k \in A$ $0$ $X_k$ $X$

インジケーター関数の分散は、ベルヌーイ0-1変数の最大分散である1/4で上に制限されるため、上記の条件が成立することがわかります。それでも、間違っている可能性があるのは、多数の強い法則、つまり独立サンプリングの2番目の仮定です。ランダム変数が独立してサンプリングされない場合、収束は保証されません。 $X_k$

For example, if $X_k$ = $X_1$ for all $k$ then the ratio will be either 1 or 0, whatever the value of $n$ , so convergence does not occur (unless $A$ has probability 0 or 1 of course). This is a fake and extreme example. I am not aware of practical cases where convergence to the theoretical probability will not occur. Still, the potentiality exists if sampling is not independent.

— gui11aume
ソース

One comment. On wikipedia (lnl page) i have read that the non finiteness of variance only decelerate the convergence of the mean value. Is different from what you states?

— emanuele

Are you two discussing the same law? The question asks about frequencies of events while this reply seems to focus on the sampling distribution of a mean. Although there is a connection, it hasn't yet appeared explicitly here as far as I can tell.

— whuber

@whuberはい。質問のタイトルに集中しすぎました。指摘してくれてありがとう。答えを更新しました。

— gui11aume

@ gui11aume「インジケーター関数の分散が1/4で上に制限されているため、上記の条件が成立することがわかります。」どういう意味ですか？

— エマヌエーレ

それらが同じように分散されているが、独立していない場合、問題の制限はまったく存在しない可能性があります。

— 枢機