動機

モデル選択後の推論に関連して、Leeb＆Pötscher（2005）は次のように書いています。

パラメータに関する均一性が（少なくとも局所的に）漸近分析の重要な問題であることは以前から知られていましたが、このレッスンは、多くの場合、点ごとの漸近結果（つまり、固定された各真のパラメータ値を保持する結果）。幸運なことに、この健忘症とその結果としての実践は、十分に「規則的な」モデルで十分に「規則的な」推定量しか考慮されていない限り、劇的な結果はありません。ただし、モデル選択後の推定量は非常に「不規則」であるため、均一性の問題は復讐でここに浮上します。

バックグラウンド

均一な収束

推定器が分布内で一様に収束し（wrt）、確率変数に分布するとします。次に、与えられた精度に対して、サンプルサイズを常に見つけることができるため、すべてのに対して、の分布と（つまり、制限分布）は、ごとに最大でになります。αZε>0Nεα θ N（α）ZεN>$\hat\theta_n(\alpha)$$\alpha$$Z$$\varepsilon>0$$N_{\varepsilon}$$\alpha$$\hat\theta_{n}(\alpha)$$Z$$\varepsilon$$n>N$

これは実際に役立ちます：

1. 実験を設計するとき、対応する見つけることにより、不正確さを希望する任意の小さいレベルの制限できます。N $\varepsilon$$N_{\varepsilon}$
2. サイズ与えられたサンプルについて、不正確さを制限するを見つけることができます。ε $N$$\varepsilon_N$

点単位の（ただし不均一）収束

一方、推定量が点ごとに収束する（wrt）- 一様ではない -いくつかの確率変数に分布すると仮定します。不均一性に起因する、精度が存在任意のサンプルサイズになるように、我々は常に値見つけることができるそのような分布の距離そのと分布（すなわち、極限分布）少なくともあろういくつかのために。αZεN>0NαN ψ N（αN）ZεN>$\hat\psi_n(\alpha)$$\alpha$$Z$$\varepsilon_N>0$$N$$\alpha_N$$\hat\psi_{n}(\alpha_N)$$Z$$\varepsilon$$n>N$

いくつかの考え：

1. これは大きさを教えてくれません。$\varepsilon_N$
2. 実験を設計するとき、適切な見つけることによって、任意ので不正確さを制限することはできません。しかし、おそらくをいくつかの低レベルでバインドできれば、心配する必要はありません。しかし、私たちが望む場所に常にバインドできるとは限りません。N ε ε $\varepsilon$$N_{\varepsilon}$$\varepsilon_N$
3. サイズ指定されたサンプルの不正確さを制限するが見つかるかどうかはわかりません。$\varepsilon_N$$N$

ご質問

1. 均一な収束の欠如により、推定量はほとんど役に立たなくなりますか？
   （おそらく、多くの論文が点ごとの収束に焦点を当てているため、答えは「いいえ」です...）
2. いいえの場合、不均一収束推定量が役立ついくつかの基本的な例は何ですか？

参照：

• Leeb、H.＆Pötscher、BM（2005）。モデルの選択と推論：事実とフィクション。 計量経済理論、21（01）、21-59。

「役に立つ」と「役に立たない」は数学的ではなく、多くの状況では主観的であるため、明確な答えを出すことは困難です（他の人では、有用性を形式化しようとすることができますが、そのような形式化は再び議論に開かれます）。

ここにいくつかの考えがあります。

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（b）点ごとの収束は、収束がまったくない場合よりも強力です。

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（d）均一な収束結果が得られない場合、さまざまな可能性があります。

i）均一な収束は実際には成立する可能性がありますが、まだそれを証明することはできません。

ii）均一な収束に違反する可能性がありますが、現実的でないパラメータ空間の領域でのみ違反する可能性があるため、実際の収束動作はおそらく問題ありません。（c）のように、真の値に近いことを保証する定理がないからといって、離れているとは限りません。

iii）均一な収束に違反する可能性があり、あらゆる現実的な状況で不規則な行動に遭遇する可能性があります。頑張ってください。

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（e）さて、あなたが言うように、均一収束はそれが私たちに明確な実用的価値のある保証を与え、それなしでは何の保証もないので明らかに有用です。しかし、推定値が良いことを保証できない場合でも、推定量が良いかもしれないという事実は別として、実際には決して実際にはモデルの仮定が成り立たないため、実際に適用される保証があります。状況は実際には言うよりも複雑です。OK、モデルPは間違っていますが、実際のモデルQは非常に複雑であり、ノンパラメトリックな均一収束結果によって飼いならされました。いいえ、これらのモデルはすべて理想化であり、最初は何もiidでもなく、通常の依存関係や非同一性パターンに従うものもありません（シミュレーションで使用する乱数でさえ、実際には乱数ではありません）。したがって、統一された収束の保証は、理想化された状況に適用され、実践は別の話になります。理想的な状況における推定量については、一様収束のような理論を使用して処理します。このような理想的な状況では、

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