$\underset{\textbf{w}}{\arg\min} L(w)=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-\textbf{w}^T\textbf{x}|$

$\min \sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$u_i \geq \textbf{x}^T\textbf{w}- y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$u_i \geq -\left(\textbf{x}^T\textbf{w}-y_{i}\right) \; i = 1,\ldots,n$

しかし、私はLPの初心者なので、段階的に解決する考えはありません。何かアイデアはありますか？前もって感謝します！

編集：

これが私がこの問題に到達した最新の段階です。私はこのメモに続く問題を解決しようとしています：

ステップ1：標準形式に定式化する

$\min Z=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$\textbf{x}^T\textbf{w} -u_i+s_1=y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$\textbf{x}^T\textbf{w} +u_i+s_2=-y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

s_1 \ ge 0の対象$s_1 \ge 0; s_2\ge 0; u_i \ge 0 \ i=1,...,n$

ステップ2：初期タブローを構築する

           |      |    0      |    1   |  0  |   0   |   0    
 basic var | coef |  $p_0$    |  $u_i$ |  W  | $s_1$ | $s_2$ 
      $s_1$| 0    |  $y_i$    |   -1   |  x  |   1   |   0
      $s_2 | 0    |  $-y_i$   |    1   |  x  |   0   |   1
      z    |      |    0      |    -1  |  0  |   0   |   0

ステップ3：基本変数を選択する

$u_i$が入力ベース変数として選択されます。ここに問題があります。出力ベース変数を選択するとき、明らかに$y_i/-1=-y_i/1=-y_i$です。注によると、$y_i\ge0$場合、問題には無限の解決策があります。

私はここで完全に失われました。何か問題があるかどうか、そして次の手順をどのように続けるべきか疑問に思います。

線形計画法により最小絶対偏差を解くための例が必要です。Rでの簡単な実装を示します。分位点回帰は、最小絶対偏差の一般化です。これは、分位点0.5の場合であるため、分位点回帰の解決策を示します。その後、R quantregパッケージで結果を確認できます。

rq_LP  <-  function(x, Y, r=0.5, intercept=TRUE) {
    require("lpSolve")
    if (intercept) X  <-  cbind(1, x) else X <-  cbind(x)
    N   <-  length(Y)
    n  <-  nrow(X)
    stopifnot(n == N)
    p  <-  ncol(X)
    c  <-  c(rep(r, n), rep(1-r, n), rep(0, 2*p))  # cost coefficient vector
    A  <- cbind(diag(n), -diag(n), X, -X)
    res  <-  lp("min", c, A, "=", Y, compute.sens=1)
### Desempaquetar los coefs:
    sol <- res$solution
    coef1  <-  sol[(2*n+1):(2*n+2*p)]
    coef <- numeric(length=p)
    for (i in seq(along=coef)) {
         coef[i] <- (if(coef1[i]<=0)-1 else +1) *  max(coef1[i], coef1[i+p])
    }
    return(coef)
    }

次に、簡単な例で使用します。

library(robustbase)
data(starsCYG)
Y  <- starsCYG[, 2]
x  <- starsCYG[, 1]
rq_LP(x, Y)
[1]  8.1492045 -0.6931818

その後、あなた自身でチェックを行うことができますquantreg。

線形計画法は凸最適化で一般化でき、シンプレックスに加えて、より信頼性の高いアルゴリズムが利用できます。

The Convex Optimization Bookおよび提供されているCVXツールボックスを確認することをお勧めします。正則化で最小絶対偏差を簡単に定式化できる場所。

https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf

http://cvxr.com/cvx/