R / mgcv：なぜte（）とti（）テンソル積が異なる表面を生成するのですか？

のmgcvパッケージにRは、テンソル積の相互作用をフィッティングするための2つの関数がte()ありti()ます。私は2つの作業の基本的な分業を理解しています（非線形の相互作用を当てはめるか、この相互作用を主効果と相互作用に分解するか）。私が理解していないのは、なぜte(x1, x2)、そしてti(x1) + ti(x2) + ti(x1, x2)（わずかに）異なる結果を生成するのかということです。

MWE（から適応?ti）：

require(mgcv)
test1 <- function(x,z,sx=0.3,sz=0.4) { 
  x <- x*20
 (pi**sx*sz)*(1.2*exp(-(x-0.2)^2/sx^2-(z-0.3)^2/sz^2)+
             0.8*exp(-(x-0.7)^2/sx^2-(z-0.8)^2/sz^2))
}
n <- 500

x <- runif(n)/20;z <- runif(n);
xs <- seq(0,1,length=30)/20;zs <- seq(0,1,length=30)
pr <- data.frame(x=rep(xs,30),z=rep(zs,rep(30,30)))
truth <- matrix(test1(pr$x,pr$z),30,30)
f <- test1(x,z)
y <- f + rnorm(n)*0.2

par(mfrow = c(2,2))

# Model with te()
b2 <- gam(y~te(x,z))
vis.gam(b2, plot.type = "contour", color = "terrain", main = "tensor product")

# Model with ti(a) + ti(b) + ti(a,b)
b3 <- gam(y~ ti(x) + ti(z) + ti(x,z))
vis.gam(b3, plot.type = "contour", color = "terrain", main = "tensor anova")

# Scatterplot of prediction b2/b3
plot(predict(b2), predict(b3))

この例では違いはそれほど大きくありませんが、なぜ違いがあるのでしょうか。

セッション情報：

 > devtools::session_info("mgcv")
 Session info
 -----------------------------------------------------------------------------------
 setting  value                       
 version  R version 3.3.1 (2016-06-21)
 system   x86_64, linux-gnu           
 ui       RStudio (0.99.491)          
 language en_US                       
 collate  en_US.UTF-8                 
 tz       <NA>                        
 date     2016-09-13                  

 Packages      ---------------------------------------------------------------------------------------
 package * version date       source        
 lattice   0.20-33 2015-07-14 CRAN (R 3.2.1)
 Matrix    1.2-6   2016-05-02 CRAN (R 3.3.0)
 mgcv    * 1.8-12  2016-03-03 CRAN (R 3.2.3)
 nlme    * 3.1-128 2016-05-10 CRAN (R 3.3.1)

r gam mgcv conditional-probability mixed-model references bayesian estimation conditional-probability machine-learning optimization gradient-descent r hypothesis-testing wilcoxon-mann-whitney time-series bayesian inference change-point time-series anova repeated-measures statistical-significance bayesian contingency-tables regression prediction quantiles classification auc k-means scikit-learn regression spatial circular-statistics t-test effect-size cohens-d r cross-validation feature-selection caret machine-learning modeling python optimization frequentist correlation sample-size normalization group-differences heteroscedasticity independence generalized-least-squares lme4-nlme references mcmc metropolis-hastings optimization r logistic feature-selection separation clustering k-means normal-distribution gaussian-mixture kullback-leibler java spark-mllib data-visualization categorical-data barplot hypothesis-testing statistical-significance chi-squared type-i-and-ii-errors pca scikit-learn conditional-expectation statistical-significance meta-analysis intuition r time-series multivariate-analysis garch machine-learning classification data-mining missing-data cart regression cross-validation matrix-decomposition categorical-data repeated-measures chi-squared assumptions contingency-tables prediction binary-data trend test-for-trend matrix-inverse anova categorical-data regression-coefficients standard-error r distributions exponential interarrival-time copula log-likelihood time-series forecasting prediction-interval mean standard-error meta-analysis meta-regression network-meta-analysis systematic-review normal-distribution multiple-regression generalized-linear-model poisson-distribution poisson-regression r sas cohens-kappa

— jvh_ch
ソース

マジ人！？はっきりmgcv固有のもので実装しながら、（私は気づいていないのだ任意のこのANOVAのような二変量平滑化し分解することができますGAMSための他の既製のソフトウェア）、問題と答えがはっきり統計です。「相互作用」コンポーネントからマージナル項を分解するときに発生する余分なペナルティマトリックスのため、適合しているモデルは内部では同じではありません。これはmgcvに固有のものではありません。

— モニカの復活-G.シンプソン

@GavinSimpson私はこの質問の話題性、またはそうでなければ、メタについて質問をしました

— Silverfish

これらは表面的には同じモデルですが、実際にはフィッティング時にいくつかの微妙な違いがあります。重要な違いの1つは、ti()項を含むモデルがモデルと比較してより滑らかなパラメーターを推定していることte()です。

> b2$sp
te(x,z)1 te(x,z)2 
3.479997 5.884272 
> b3$sp
    ti(x)     ti(z)  ti(x,z)1  ti(x,z)2 
 8.168742 60.456559  2.370604  2.761823

これは、2つのモデルに関連付けられているペナルティマトリックスが多いためです。ti()モデルでは、"term"ごとに1つありますが、te()モデルではわずか2 つです（限界平滑ごとに1つ）。

またはti()どちらを使用するかを決定するために使用されるのモデルが表示されます。用語を使用するとこれらのモデルを比較できないため、を使用します。が必要かどうかを判断したら、必要に応じてモデルを再フィットするか、が不要な場合は各周辺効果を個別に再フィットできます。 $\hat{y} = \beta_0 + s(x, y)$ $\hat{y} = \beta_0 + s(x) + s(y)$ te()ti() $s(x,y)$ te()s() $s(x,y)$

を使用して近似することでモデルを互いに近づけることができることに注意してくださいmethod = "ML"（または"REML"、ただし、"REML"すべての条件が完全にペナルティを課されていない限り、「固定」効果を比較しないでください。デフォルトではそうではありませんが、でselect = TRUE）。

— モニカの復活-G.シンプソン
ソース