最初のk（経験的）モーメントを使用して、近似PDF（つまり、密度推定）をフィットさせる方法は？

データセットの（最初の）モーメントを推定できる状況があり、それを使用して密度関数の推定を生成したいと考えています。$k$

私はすでにピアソン分布に出くわしましたが、それが最初の4つのモーメントのみに依存していることを認識しました（モーメントの可能な組み合わせにいくつかの制限があります）。

さらに、仮定を使用しない場合、有限のモーメントセットは特定の分布を「固定」するのに十分ではないことも理解しています。ただし、（ピアソンファミリーのディストリビューション以外の）より一般的なクラスのディストリビューションを希望します。他の質問を見て、私はそのような分布を見つけることができませんでした（参照：ここ、ここ、ここ、ここ、ここ、ここ、およびここ）。

モーメントの任意のセットに対して定義できるいくつかの（「単純な」）一般化された分布ファミリーはありますか？（標準の正規分布を取り、モーメントのすべてのセットで確認されるまで変換する一連の変換）$k$$k$

（他のモーメントが0であると仮定しても、あまり気にしません）$k+1\ldots\infty$

ありがとう。

ps：私は、拡張された例を喜んでいます。Rコードの例が望ましい。

方法1：高次ピアソンシステム

ピアソンシステムは、慣例により、微分方程式の解群と見なされます。$p(x)$

ここで、4つのピアソンパラメーターは、母集団の最初の4つのモーメントで表すことができます。$(a, c_0, c_1, c_2)$

ピアソンシステムを2次に基づく代わりに、高次多項式を基礎石として使用することを検討できます。したがって、たとえば、3次多項式に基づくピアソンスタイルのシステムを検討できます。これは、微分方程式の解のファミリーになります。 p （x $c_0 + c_1 x + c_2 x^2$$p(x)$

解が得られます：

私はしばらく前に（OPと同じ思考トレインを持っている）楽しみにしてこれを解決しました。導出と解決策は、本の第5章に記載されています。興味があれば、ここから無料でダウンロードできます：

http://www.mathstatica.com/book/bookcontents.html

2次（2次）ピアソンファミリーは最初の4モーメントで表すことができますが、3次（3次）ピアソンスタイルファミリーは最初の6モーメントが必要です。

方法2：グラムチャーリエ展開

グラムチャーリエ展開についても、同じ第5章（5.4節を参照）で説明されています。また、任意の大きさのモーメントに基づいて近似密度を構築することもできます。OPが示唆しているように、グラムチャーリエ展開は、エルミート多項式として知られている標準の正規pdfの一連の導関数の関数として近似pdfを表します。グラムチャーリエ係数は、母集団モーメントの関数として解かれます。そして、拡大が大きいほど、必要なモーメントが多くなります。関連するEdgeworthの拡張を確認することもできます。$k^{th}$

母集団のモーメントまたはサンプルのモーメント??

ピアソンスタイルのシステムの場合：母集団のモーメントがわかっている場合、より高いモーメントを使用すると、より適切にフィットするはずです。ただし、観測されたデータが母集団から抽出されたランダムなサンプルである場合、トレードオフがあります。より高次の多項式はより高次のモーメントが必要であることを意味し、後者の推定値は信頼できない可能性があります（分散が高い）。サンプルサイズが「大きい」の場合を除きます。言い換えると、サンプルデータが与えられると、より高いモーメントを使用したフィッティングは「不安定」になり、結果が悪くなる可能性があります。同じことがグラム・チャーリエ展開にも当てはまります。余分な項を追加すると、実際には適合が悪くなる可能性があるため、注意が必要です。