ランダムウォークの分散が増加するのはなぜですか？

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ランダムウォークのように定義される、ホワイトノイズです。現在の位置が前の位置と予測できない用語の合計であることを示します。 $Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$ $e_t$

、平均関数であることを証明でき $\mu_t = 0$ $E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

しかし、なぜ分散は時間とともに直線的に増加するのでしょうか？

これは、新しい位置が前の位置と非常に相関しているため、「純粋な」ランダムではないことに関係していますか？

編集：

これで、ランダムウォークの大きなサンプルを視覚化することで、より良い理解が得られました。ここで、全体的な分散が時間とともに増加することを簡単に確認できます。

100 000ランダムウォーク

そして、平均はゼロ付近で予想どおりです。

時系列の非常に初期の段階（時間= 10と100を比較）で、ランダムウォーカーはまだ探索する時間がなかったため、これは結局、些細なことでした。

— イスビスター
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シミュレートされたランダムウォークの「平均」が特定の期待値と同じであるかを確認するのは困難。その期待値は、定義により、可能性のあるランダムウォークの「アンサンブル」全体にわたって計算され、シミュレーションウォークはその1つのインスタンスにすぎません。1つのプロットにグラフを重ねることで、多くの歩行をシミュレートすると、水平軸の周りにそれらが広がっていることがわかります。その広がりはによってどのように異なりますか？

Y_{t}

$Y_t$

t

$t$

— whuber

@whuberより理にかなっています！もちろん、私はそれをすべての可能な歩行の1つの例と見なすべきです。そして、はい、グラフを見ると、すべての歩行の全体的な分散が時間とともに増加することがわかります。そのとおりです？

— イスビスター

1

はい、そうです。@Glen_bが数学を使って彼の答えに書いたことを理解する良い方法です。ランダムウォークの多くのアプリケーションに慣れることが役立つことがわかりました。古典的なブラウン運動アプリケーションに加えて、拡散、オプションの価格設定、測定誤差の蓄積などについて説明しています。拡散など、これらのいずれかを取る。静止した水のプールに落ちるインクの滴を想像してください。その位置は固定されていますが、時間が経つにつれて広がります。これは、増加する分散とともに常にゼロの平均を実際に見ることができる方法です。

— whuber

@whuberどうもありがとう、今は完全に理解しています！

— イスビスター

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要するに、次の増分の分散を、現在の位置に到達する際の分散に追加し続けるからです。

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ （独立）
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

そして我々はそれを参照することができます $t\sigma^2$ と直線的に増加を $t$ 。

平均は各時点でゼロです。シリーズを何度もシミュレートし、特定の時間のシリーズ全体で平均すると、平均は0に近い値になります

サンプル平均および+/-標準偏差を使用した500のシミュレーションランダムウォーク

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

— Glen_b -Reinstate Monica
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ええ、それぞれのエラー用語は独立しています。そして、これは論文で理にかなっていることを確認してください。しかし、「分散はどのように線形的に増加するのか」について、まだ良い感覚は得られませんが、平均値はゼロのままです。それはとても矛盾しているように聞こえます。私の質問に答える数学的な説明はどうですか？

— イスビスター

timpal0l-各時点で、平均をシフトせずに「ノイズ」（平均に関する分散）に追加する別の項を追加しています。したがって、平均は同じままですが、分散は増加します（分布は後からより「広がり」ます）。それは直感的なアイデアであり、また一般的な意味でも数学が示すものです。

— Glen_b -Reinstate Monica

1

図A.Webbをありがとう。非常に素晴らしい。

— Glen_b -Reinstate Monica

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ここにそれを想像する方法があります。物事を簡素化するために、ホワイトノイズ置き換えましょう $e_i$ $e_i$

e_{私} = {\begin{matrix} 1 と P r = .5 \\ - 1 と P r = .5 \end{matrix}

$e_i = \left\{ \begin{array}{c} 1 \ \text{with} \ Pr = .5 \\ -1 \ \text{with} \ Pr = .5 \end{array} \right.$

これは視覚化を単純化するだけで、想像力への負担を和らげることを除いて、スイッチについて本当に基本的なことは何もありません。

ここで、コインフリッパーの軍隊を集めたと仮定します。彼らの指示は、あなたの命令で、コインを投げ、その結果が何であったかについての集計と、以前のすべての結果の集計を続けることです。個々のフリッパーはランダムウォークのインスタンスです

W = e_{1} + e_{2} + \dots

$W = e_1 + e_2 + \cdots$

そして、すべての軍隊を集約することで、予想される行動を理解できるはずです。

flip 1 $W$ $1$ $-1$ $2$

flip 2 $W$ $HH$ $TT$ $W$ $2$ $-2$ $4$

...

flip n $W$ $HH \cdots H$ $TT \cdots T$ $n$ $n$ $2n$

そのため、この思考実験から次のことがわかります。

歩行の各ステップはバランスが取れているため、歩行の期待値はゼロです。
歩行の合計範囲は、歩行の長さに比例して増加します。

直観を回復するために、標準偏差を破棄し、直感的な尺度である範囲を使用する必要がありました。

— マシュー・ドゥルーリー
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1

標準偏差は直線的に増加しないため、最後のコメントには疑問があります。

— ジュホコッカラ

はい、私はそれを解決するために何か言いたいことを考えていますか？私が考えることができるのは、非常に直感的ではない中心極限定理へのアピールだけです。

— マシュードゥルーリー

@JuhoKokkalaあなたの批判に同意するので、最後の発言を削除しました。

— マシュードゥルーリー

3

これは、新しい位置が前の位置と非常に相関しているため、「純粋な」ランダムではないことに関係していますか？

「純粋」とは、独立を意味するように見えます。ランダムウォークでは、ステップのみがランダムであり、互いに独立しています。既に述べたように、「位置」はランダムですが、相関しています。つまり、独立ではありません。

$E[Y_t]=0$ $Y_t$ $Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$ $Y_t$ $\mu t$

— アクサカル
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直感的な説明のために別の例を見てみましょう。ダーツボードにダーツを投げます。ブルズアイを狙おうとするプレーヤーがいて、それを0と呼ばれる座標にします。プレーヤーは数回投げます。実際、彼の投げの平均は0です。 20 cmです。

プレーヤーに1本の新しいダーツを投げるよう依頼します。ブルズアイに当たると思いますか？

いいえ。平均は正確にブルズアイですが、スローをサンプリングすると、ブルズアイではない可能性が非常に高くなります。

$t$

ただし、多くのサンプルを取得すると、中心が0付近になることがわかります。ダーツプレーヤーがブルズアイをヒットすることはほとんどありませんが（大きな変動）、ダーツをたくさん投げると、中心に配置されます。ブルズアイ周辺（平均）。

この例をランダムウォークに拡張すると、平均が0のままであっても、時間とともに分散が増加することがわかります。ランダムウォークの場合、直感的にわかるにもかかわらず、平均が0のままになるのは奇妙に思えます。正確に原点に到達することはほとんどありません。ただし、ダーターについても同じことが言えます。1本のダーツは、増加する分散でほとんどブルズアイにヒットしないことがわかりますが、ダーツはブルズアイの周りに素敵な雲を形成します-平均値は0のままです。

— Sanchises
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1

これは、スプレッドの一時的な増加に関する問題の現象を説明するものではありません。この増加は、サンプル数の関数ではありません。それは本質的です。

— whuber

1

t

$t$

0

これは、分散が時間とともに直線的に増加するという直感を得る別の方法です。

$.1\%$ $1.2\%$ $X$ $365X$

$.1\%$ $\pm .05\%$ $1.2\%$ $\pm .6\%$

分散を範囲と直観的に考えた場合、分散が時間の経過と同じように、つまり直線的に増加することは直感的に理解できます。

— plaる
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