二次形式の分布に関する証明への奇妙な一歩

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次の定理は、Hogg、Craig、Mckeanによる「Introduction to Mathematical Statistics」の第7版からのものであり、正規変数の2つの2次形式の独立性に必要かつ十分な条件に関するものです。

これはかなり長い抜粋ですが、私がいくつかの助けに感謝するのは9.9.6から9.9.7への移行のみです。以前の結果が暗黙的に使用された場合の全体像を示すために、前の手順を含めました。9.9.6と9.9.7が同等の表現である理由を教えてください。自分で9.9.7を導出しようとしましたが、すべての試みはフラストレーションに終わりました。

その後も証明は続きますが他に問題はありません。前もって感謝します。

ここに画像の説明を入力してください

self-study mathematical-statistics quadratic-form

— ジョンK
ソース

7

（9.9.6）は、述べていますしたがって、左と右に掛けると、および理由はわかりません内部および

A B = {Γ_{11}^{'} Λ_{11}} Γ_{11} Γ_{21}^{'} {Λ_{22} Γ_{21}} = U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V

${\mathbf {AB}}=\{\mathbf{\Gamma_{11}'\Lambda_{11}}\}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}\{\mathbf{\Lambda_{22}\Gamma_{21}}\}={\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$

U^{'} A B V^{'} = U^{'} U Γ_{11} Γ_{21}^{'} V V^{'}

$\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'=\mathbf{U}'{\mathbf U}\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}{\mathbf V}\mathbf{V}'$

(U^{'} U)^{- 1} U^{'} A B V^{'} (V V^{'})^{- 1} = Γ_{11} Γ_{21}^{'}

$(\mathbf{U}'{\mathbf U})^{-1}\mathbf{U}'{\mathbf {AB}}\mathbf{V}'({\mathbf V}\mathbf{V}')^{-1}=\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}$

U^{'}

$\mathbf{U}'$

V^{'}

$\mathbf{V}'$ 私がタイプミスに賭けるように消える。ただし、結論は同じままです。つまり、場合に限り、なり

Γ_{11} Γ_{21}^{'} = 0

$\mathbf{\Gamma_{11}\Gamma_{21}'}=0$

A B = 0

$\mathbf{{AB}}=0$

— 西安
ソース

はい、それは私の考えのトレインでした、ありがとう。私はこの本の正誤表のリストを見ましたが、これはそこに載っていないので、それは非常に不可解であることがわかりました。

— JohnK、2015年

7

私は著者のジョセフW.マッキーン教授に連絡し、間違いを認め、訂正を親切に提供してくれました。他の誰かが自分で勉強する必要がある場合に備えて、ここに投稿します。

（9.9.6）の後に：

が中括弧の最初のセットの行列を表すとしましょう。は完全な列ランクがあるため、そのカーネルはnullであることに注意してください。つまり、カーネルはベクトル構成されています。が2番目のブレースのセットの行列を表すとしましょう。は完全な行ランクがあるため、のカーネルはnullであることに注意してください。 $\mathbf{U}$ $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}$ $\mathbf{V}^{\prime}$

その証明として、と仮定します。その後 $\mathbf{AB}=\mathbf{0}$

U [Γ_{11} Γ_{21}^{'} V] = 0

$\mathbf{U}\left[\mathbf{\Gamma}_{11}\mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}\mathbf{V}\right]=\mathbf{0}$

のカーネルはnullであるため、括弧内の行列の各列がことを意味します。これは、 $\mathbf{U}$ $\mathbf{0}$

V^{'} [Γ_{21} Γ_{11}] = 0

$\mathbf{V}^{\prime} \left[ \mathbf{\Gamma}_{21} \mathbf{\Gamma}_{11} \right]=\mathbf{0}$

同様に、のカーネルがnullであるため、。したがって、 ... $\mathbf{V}^{\prime}$ $\mathbf{\Gamma}_{11} \mathbf{\Gamma}_{21}^{\prime}=\mathbf{0}$ $\left(9.9.5 \right)$

（そして証明は他の方向に続きます）

— ジョンK
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