反復測定ANOVA：正規性の仮定とは何ですか？

反復測定ANOVAの正規性の仮定について混乱しています。具体的には、どのような正常性を正確に満たす必要があるのかと思っています。CVに関する文献と回答を読んで、この仮定の3つの明確な文言に出会いました。

各（繰り返し）条件内の従属変数は、正規分布する必要があります。

rANOVAにはANOVAと同じ仮定に加えて球形性があるとよく言われます。これは、FieldのDiscovering統計と、Wikipediaの主題とLowryのテキストに関する記事の主張です。
残差（考えられるすべてのペア間の差？）は正規分布である必要があります。

私は、CV（上の複数回答でこの文を見つけました1、2）。rANOVAと対になったt検定との類推により、これも直感的に見えるかもしれません。
多変量正規性を満たす必要があります。

ウィキペディアとこのソースはこれに言及しています。また、rANOVAはMANOVA と交換できることを知っています。これはこの主張に値するかもしれません。

これらは何とか同等ですか？私はそれをその多変量正規の手段を知っているすべての私が正しく、後者を理解している場合3.自然に2が含まれるので、のDVの線形結合が正常に配布されます。

これらが同じでない場合、rANOVAの「真の」仮定はどれですか。参照を提供できますか？

私には、最初の主張に対する支持がほとんどあるようです。ただし、これは通常ここで提供される回答と一致していません。

線形混合モデル

@utobiのヒントにより、rANOVAを線形混合モデルとして再表現する方法を理解できました。具体的には、経時的モデル方法血圧変化に、私は期待値をモデル化することになる：の血圧の測定値であるが、の平均血番目の被験者の圧力、および番目の被験者が測定された番目の時間としての、

E [y_{i j}] = a_{i} + b_{i} t_{i j},

$\mathrm{E}\left[y_{ij}\right]=a_{i}+b_i t_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

a_{i}

$a_{i}$

i

$i$

t_{i j}

$t_{ij}$

j

$j$

i

$i$

b_{i}

$b_i$ 血圧の変化も被験者間で異なることを示しています。被験者のサンプルは母集団のランダムなサブセットにすぎないため、両方の効果はランダムと見なされます。

最後に、私はこれが正常性にとって何を意味するか考えようとしましたが、ほとんど成功しませんでした。McCulloch and Searle（2001、p。35. Eq。（2.14））を言い換えると：

\begin{aligned} E [y_{i j} | a_{i}] & = a_{i} \\ y_{i j} | a_{i} & \sim i n d e p . N (a_{i}, σ^{2}) \\ a_{i} & \sim i . i . d . N (a, σ_{a}^{2}) \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{E}\left[y_{ij}|a_i\right] &= a_i \\[5pt] y_{ij}|a_i &\sim \mathrm{indep.}\ \mathcal{N}(a_i,\sigma^2) \\[5pt] a_i &\sim \mathrm{i.i.d.}\ \mathcal{N}(a,\sigma_a^2) \end{align}$

私はこれを意味すると理解しています

4.各個人のデータは正規に配布する必要がありますが、これは少数の時点でテストするのは不合理です。

私はそれを意味する3番目の表現を取ります

5.個々の被験者の平均は通常分布しています。これらは、上記の3つに加えて別の2つの異なる可能性があることに注意してください。

McCulloch、CE＆Searle、SR（2001）。一般化モデル、線形モデル、および混合モデル。ニューヨーク：John Wiley＆Sons、Inc.

— ファト39
ソース

手がかりを与えるためだけに。線形混合モデル（LMM）の観点からrANOVAモデルを述べることができます。LMMを取得すると、暗黙の正規性の仮定がすぐに表示されます。こちらをご覧ください（ eu.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0470073713.html LMMSのいくつかの理論のために）

— utobi

@utobi、ありがとうございます。確かに、私は最初の数章を研究しましたが、私の質問に対する答えを理解することができませんでした。限られた進歩を反映して更新しました。

— -Fato39

これは私にとって完全に良い質問のようです。私は開いたままにしておくことに投票しています。

— GUNG -復活モニカ

確かに、各個人のデータは正規分布する必要があります。あなたが書かれているものを見ればしかし、すべての個々のデータは、それらが（demeanedされた後

ゼロの平均と同じ分散（必要がありますオフ差し引かれる）

）。そのため、すべての卑劣なデータは単一の正規分布から生じると仮定できます。残差を見て、この仮定がどの程度満たされているかを確認できます。

a_{i}

$a_i$

σ_{a}^{2}

$\sigma_a^2$

— Heteroskedasticジム

これを単変量モデルとして扱う場合、これは最も単純な反復測定ANOVAモデルです。

y_{i t} = a_{i} + b_{t} + ϵ_{i t}

$y_{it} = a_{i} + b_{t} + \epsilon_{it}$

ここで、は各ケースを表し、はそれらを測定した時間を表します（したがって、データは長い形式になります）。、結果が他の上に積み重ね表す、それぞれの場合の平均値を表し $i$ $t$ $y_{it}$ $a_{i}$ $b_{t}$ $\epsilon_{it}$

$a_{i}$ $F$ $b_{1}=...=b_{t}=0$

$F$

ϵ_{i t} \sim N (0, σ) these errors are normally distributed and homoskedastic

$\begin{equation} \epsilon_{it}\sim\mathcal{N}(0,\sigma)\quad\text{these errors are normally distributed and homoskedastic} \end{equation}$

$F$

反復測定ANOVAを多変量モデルとして扱いたい場合、正規性の仮定は異なる可能性があり、Wikipediaで見た以上に拡張することはできません。

— ヘテロスケダスティクスジム
ソース

反復測定ANOVAの正常性の説明は、次の場所にあります。

SPSS出力の正しい解釈のための反復測定ANOVAの仮定の理解

$3 \rightarrow 1$ $3 \rightarrow 2$ $5$

— フェデリコ・テデスキ
ソース

フェデリコ、答えてくれてありがとう。私はこの説明を知っていました（私のポイント番号2とそこに参照されている最初のCVリンクを参照）。CVの回答の質は高く評価されていますが、さまざまなソースを参照するときに、質問に対するさまざまな（矛盾する？）したがって、上記の5つのポイントで言及したニュアンスを明示的または決定的に扱うソースを好むでしょう。

— -Fato39