正の行列式の一様にランダムな直交行列を生成する方法は？

たぶん私は自白しなければならない、私は混乱しているという愚かな質問を持っています。いくつかのサイズpの均一に分布したランダム直交（正規直交）行列を繰り返し生成することを想像してください。生成された行列には行列式1が含まれる場合と、行列式− 1が含まれる場合があります。（可能な値は2つだけです。直交回転の観点から、det = − 1は、回転の他に1つの追加の反射もあることを意味します。）$p$$1$$-1$$\det=-1$

直交行列のの符号をマイナスからプラスに変更するには、そのいずれか（またはより一般的には奇数）の列の符号を変更します。$\det$

私の質問は、そのようなランダム行列を繰り返し生成することを考えると、特定の列のみ（たとえば、常に最初または常に最後）の符号を元に戻すことを選択するたびに、一様なランダムな性質にバイアスを導入しますか？または、行列がランダムに均一に分散したコレクションを表すようにするには、列をランダムに選択する必要がありますか？

列の選択は重要ではありません。特殊な直交行列の結果の分布は依然として均一です。$SO(n)$

$\mathbb{I}_1$

$F$$G$$F$$G$

$$G(x) - G(-x) = F(x).$$

$G$$0$$G(x) - 1/2 = 1/2 - G(-x)$$F(x) = 2G(x) - 1$$F$$G$）はこの種です。

$O(n)$$SO(n)$$\mathbb{R}_{+}$$dx/x$$\mathbb{R}-\{0\}$$\mathbb{R}_{+}$、正の値の分布は変化しません。（残念ながら、この測度は確率測度に正規化することはできませんが、これがアナロジーが崩れる唯一の方法です。）

$\mathbb{J}$$\mathbb{I}_1$

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$O(n, \mathbb{R}) = O(n)$$SO(n, \mathbb{R}) = SO(n)$

$$\mathbb{I}_1 = \pmatrix{-1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1}$$

$\mathbb X$$\mathbb{X}$$\mathbb{I}_1$$SO(n)\subset O(n)$$O(n)$

$$O(n) = SO(n) \cup SO(n)\,\mathbb{I}_1^{-1}.$$

$(O(n), \mathfrak{S}, \mathbb{P})$$O(n)$

$$f:O(n)\to SO(n)$$

設定することにより

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}$$

$\mathbb{X}\in SO(n)$

$$f(\mathbb{X}) = \mathbb{X}\mathbb{I}_1$$

$\mathbb{X}\in SO(n)\,{\mathbb{I}_1}^{-1}$

$SO(n)$$\omega\in O(n)$$f$$f_{*}\omega = f(\omega)\in SO(n)$$(SO(n), \mathfrak{S}^\prime, \mathbb{P}^\prime)$

$$\mathfrak{S}^\prime = f_{*}\mathfrak{S} = \{f(E)\,|\,E\subset\mathfrak{S}\}$$

そして

$$\mathbb{P}^\prime(E) = (f_{*}\mathbb{P})(E) = \mathbb{P}(f^{-1}(E)) = \mathbb{P}(E \cup E\,\mathbb{I}_1)$$

$E \subset \mathfrak{S}^\prime$

$\mathbb{I}_1$$E \cap E\,\mathbb{I}_1 = \emptyset$$E\in\mathfrak{S}^\prime$

$$\mathbb{P}^\prime(E) = \mathbb{P}(E\cup E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = \mathbb{P}(E) + \mathbb{P}(E\,\mathbb{I}_1^{-1}) = 2\mathbb{P}(E).$$

$\mathbb{P}$$O(n)$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{I}_1$$\mathbb{P}^\prime$