標準偏差の閉じた形の不偏推定量はどの分布にありますか？

正規分布の場合、標準偏差の不偏推定量があります：

{\hat{σ}}_{不偏} = \frac{Γ （ \frac{n - 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})} \sqrt{\frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$\hat{\sigma}_\text{unbiased} = \frac{\Gamma(\frac{n-1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2})} \sqrt{\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2}$

この結果があまり知られていない理由は、それが大部分の重要な輸入の問題ではなくむしろ骨cur品であるように思われます。証明はこのスレッドでカバーされています。正規分布の重要な特性を利用します。

\frac{1}{σ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \sim \chi^{2}_{n-1}$

そこから、少しの作業で、、およびこの回答を倍数として識別することにより、の結果を推測でき。 $\mathbb{E}\left( \sqrt{\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2} \right)$ $\sigma$ $\hat{\sigma}_\text{unbiased}$

これにより、他のどの分布が標準偏差の閉形式の不偏推定量を持っているのか興味があります。分散の不偏推定量とは異なり、これは明らかに分布固有です。さらに、他の分布の推定量を見つけるために証明を適応させるのは簡単ではありません。

スキュー正規分布には、2次形式の優れた分布特性がいくつかあります。これは、使用した正規分布特性が事実上特別なケースです（正規分布は特殊なタイプのスキュー正規分布なので）。このメソッドをそれらに拡張します。しかし、他のディストリビューションでは、まったく異なるアプローチが必要と思われます。

そのような推定量が知られている他の分布はありますか？

mathematical-statistics standard-deviation unbiased-estimator

— 銀魚
ソース

技術的な注意散漫を無視すると、答えの性質がより明確になります。通常の場合、あなたが書いたもののほとんどは、結論に本当に関連していません。重要なのは、この特定の推定量のバイアスの量が

のみの関数であることです（データから推定する必要がある他の分布パラメーターに依存しません）。

n

$n$

— whuber

@whuberあなたがほのめかしている一般的な考えを見ることができると思います。そして明らかに「

関数だけ」が必要です。しかし、私はそれが十分だとは思わない-私たちがいくつかの素晴らしい分布結果にアクセスできなければ、「閉じた形」の側面がどのように扱いやすいかを見ることができない。

n

$n$

— シルバーフィッシュ

「閉じた形式」の意味に依存します。たとえば、ある人にとってシータ関数は「閉じている」かもしれませんが、別の人にとってはそれは無限の積、べき級数、または複素積分です。考えてみると、それがまさにガンマ関数です:-)。

— whuber

@whuber良い点！「この特定の推定量のバイアスの量」とは、

のバイアス（質問にリストされている推定量がゼロバイアスであるのではなく）は

関数であることを

（幸いなことに

でも）公平な推定量を見つけるために簡単に再配置できるような方法で）？

s

$s$

n

$n$

σ

$\sigma$

— シルバーフィッシュ

@whuber：ロケーションスケールファミリには同様の式が必要です。ただし、

の関数は扱いにくい積分である可能性があることを指摘しました。

n

$n$

— 西安

回答:

これは、直接質問に接続されていないが、あるピータービッケルとエーリッヒレーマン1968論文は、その分布の凸ファミリー、状態、機能の不偏推定量が存在するサンプルサイズのために（場合）十分な大きさとする場合にのみの多項式であり、 $F$ $q(F)$ $n$ $q(\alpha F+(1-\alpha)G)$ $0\le \alpha\le 1$ 。この定理は、ガウス分布のコレクションが凸ではないため（ガウス分布の混合はガウス分布ではないため）、ここの問題には当てはまりません。

問題の結果の拡張は、任意の電源ことである標準偏差をunbiasedly推定することができ、十分な観察が提供される。これは、結果 $\sigma^\alpha$ $\alpha<0$ ということスケール（ユニークな）であるためのパラメータ。

\frac{1}{σ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{1}{\sigma^2} \sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2 \sim \chi^{2}_{n-1}$

σ

$\sigma$

\sum_{k = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$\sum_{k=1}^n(x_i-\bar{x})^2$

この通常の設定は、次に、任意の位置規模ファミリーに拡張することができる有限の分散と。確かに、

X_{1}, \dots, X_{n} \overset{iid}{\sim} τ^{- 1} f (τ^{- 1} {x - μ})

$X_1,\ldots,X_n\stackrel{\text{iid}}{\sim} \tau^{-1}f(\tau^{-1}\{x-\mu\})$

σ^{2}

$\sigma^2$

分散のみの関数であり、。 ${var}_{μ, τ} (X) = E_{μ, τ} [(X - μ)^{2}] = τ^{2} E_{0, 1} [X^{2}]$ $\text{var}_{\mu,\tau}(X)=\mathbb{E}_{\mu,\tau}[(X-\mu)^2]=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}[X^2]$ $\tau$
二乗和の形式の期待有する。 $\begin{aligned} E_{μ, τ} [\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}] & = τ^{2} E_{μ, τ} [\sum_{k = 1}^{n} τ^{- 2} (X_{i} - μ - \bar{X} + μ)^{2}] \\ = τ^{2} E_{0, 1} [\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}] \end{aligned}$ $\begin{align*}\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]&=\tau^2\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\sum_{k=1}^n\tau^{-2}(X_i-\mu-\bar{X}+\mu)^2\right]\\ &=\tau^2\mathbb{E}_{0,1}\left[\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right]\end{align*}$ $\tau^2\psi(n)$
同様に、任意の電力のためのであり、期待値は有限です。 $E_{μ, τ} [{\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}}^{α}] = τ^{2 α} E_{0, 1} [{\sum_{k = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X})^{2}}^{α}]$ $\mathbb{E}_{\mu,\tau}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]=\tau^{2\alpha}\mathbb{E}_{0,1}\left[\left\{\sum_{k=1}^n(X_i-\bar{X})^2\right\}^\alpha\right]$

— 西安
ソース

おそらくよく知られているケースですが、それでもケースです。
連続的な一様分布考えます。iidサンプルが与えられた場合、最大次数統計は期待値があります $U(0,\theta)$ $X_{(n)}$

E (X_{(n)}) = \frac{n}{n + 1} θ

$E(X_{(n)}) = \frac {n}{n+1}\theta$

分布の標準偏差は

σ = \frac{θ}{2 \sqrt{3}}

$\sigma = \frac {\theta}{2\sqrt 3}$

だから、推定

\hat{σ} = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \frac{n + 1}{n} X_{(n)}

$\hat \sigma = \frac 1{2\sqrt 3}\frac {n+1}{n}X_{(n)}$

に対して明らかに偏りがない。 $\sigma$

これは、範囲の不偏推定量を使用できるため、分布の下限も不明な場合に一般化され、標準偏差は再び範囲の線形関数になります（基本的に上記のとおりです）。

これは@whuberのコメントを例示しており、「バイアスの量はのみの関数」（および、おそらく既知の定数）であるため、決定論的に修正できます。そして、これはこの場合です。 $n$

— アレコスパパドプロス
ソース

ここで難しいのは、世界で均一分布の標準偏差に関心があるときですか？（+1）

— シャドウトーカー

@ssdecontrolそれは素晴らしい質問です！

— ください...-アレコスパパドプロス

\hat{θ}

$\hat{\theta}$

@Silverfishどういう意味で貧しい？いくつかのクイックシミュレーションは、これが通常の標準偏差よりも低いMSEを持っていることを示しています（驚いた）。

— デイブ

@Dave面白い！私は最大次数の統計だけを見ていたので貧弱だという結論に飛びつきましたが、私も驚いています！シミュレーションを行うことの価値を示しています...

— Silverfish