サンプルの標準偏差が

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標準偏差の不偏推定に関するウィキペディアの記事によると、サンプルSD

s = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$

人口のSDの偏った推定量です。これは、と述べている。 $E(\sqrt{s^2}) \neq \sqrt{E(s^2)}$

NB。ランダム変数は独立しており、それぞれ $x_{i} \sim N(\mu,\sigma^{2})$

私の質問は2つあります。

偏見の証拠は何ですか？
サンプル標準偏差の期待値をどのように計算しますか

数学/統計に関する私の知識は中程度です。

estimation standard-deviation

— Dav Weps
ソース

4

どちらの質問も、カイ分布に関するウィキペディアの記事で回答されています。

— whuberの

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この質問に対する@NRHの答えは、サンプル標準偏差の偏りの素晴らしく簡単な証明を与えます。ここでは、正規分布サンプルからのサンプル標準偏差（元のポスターの2番目の質問）の期待値を明示的に計算します。この時点で、バイアスは明らかです。

点のセットの公平な標本分散は $x_1, ..., x_n$

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s^{2} = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$

場合は「sが正常に配布され、それが事実であります $x_i$

\frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

$\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \chi^{2}_{n-1}$

どこ真の分散です。分布が確率密度を有しています $\sigma^2$ $\chi^2_{k}$

p (x) = \frac{(1 / 2)^{k / 2}}{Γ (k / 2)} x^{k / 2 - 1} e^{- x / 2}

$p(x) = \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1}e^{-x/2}$

これを使用して、期待値を導出できます。 $s$

\begin{aligned} E (s) & = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} E (\sqrt{\frac{s^{2} (n - 1)}{σ^{2}}}) \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ ((n - 1) / 2)} x^{((n - 1) / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \end{aligned}

$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} E \left( \sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}} \right) \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \sqrt{x} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma((n-1)/2)} x^{((n-1)/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \end{align}$

$\sqrt{\frac{s^2(n-1)}{\sigma^2}}$ $\chi^2$ $\chi^2$

\begin{aligned} E (s) & = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ (\frac{n - 1}{2})} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})} \int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{Γ (n / 2)} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x \\ = \sqrt{\frac{σ^{2}}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})} \cdot \frac{(1 / 2)^{(n - 1) / 2}}{(1 / 2)^{n / 2}} \underset{χ_{n}^{2} d e n s i t y}{\underset{⏟}{\int_{0}^{\infty} \frac{(1 / 2)^{n / 2}}{Γ (n / 2)} x^{(n / 2) - 1} e^{- x / 2} d x}} \end{aligned}

$\begin{align} E(s) &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n-1}{2})} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{(n-1)/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx \\ &= \sqrt{\frac{\sigma^2}{n-1}} \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \cdot \frac{ (1/2)^{(n-1)/2} }{ (1/2)^{n/2} } \underbrace{ \int_{0}^{\infty} \frac{(1/2)^{n/2}}{\Gamma(n/2)} x^{(n/2) - 1}e^{-x/2} \ dx}_{\chi^2_n \ {\rm density} } \end{align}$

$\chi^2_{n}$

E (s) = σ \cdot \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})}

$E(s) = \sigma \cdot \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) }$

$s$

σ - E (s) = σ (1 - \sqrt{\frac{2}{n - 1}} \cdot \frac{Γ (n / 2)}{Γ (\frac{n - 1}{2})}) \sim \frac{σ}{4 n}

$\sigma - E(s) = \sigma \bigg(1 - \sqrt{ \frac{2}{n-1} } \cdot \frac{ \Gamma(n/2) }{ \Gamma( \frac{n-1}{2} ) } \bigg) \sim \frac{\sigma}{4 n} \>$

n \to \infty

$n \to \infty$

$n$ $n$ $\sigma=1$ $1/4n$

ここに画像の説明を入力してください

— 大きい
ソース

(4 n)^{- 1}

$(4n)^{-1}$

あなたは本当にこのマクロを行うために多くの苦労をしました。約1分前にこの投稿を初めて見たとき、ジェンセンのルールを使用してバイアスを示すことを考えていましたが、誰かがすでにそれを行っていました。

— マイケルチャーニック

2

もちろん、これは標準偏差に偏りがあることを示すための丸い方法です-私は主に元のポスターの2番目の質問「標準偏差の期待値をどのように計算するのですか？」に答えていました。

— マクロ

2

s

$s$

σ^{k}

$\sigma^k$

2

s^{k}

$s^k$

k

$k$

43

s^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(x_i - \bar{x})^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

E (\sqrt{s^{2}}) < \sqrt{E (s^{2})} = σ

$E(\sqrt{s^2}) < \sqrt{E(s^2)} = \sigma$

s^{2}

$s^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

— NRH
ソース

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NRHの答えを補完するもので、Jensenの不平等をまだ研究していない学生のグループに誰かがこれを教えている場合、1つの方法はサンプルの標準偏差を定義することです

S_{n} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} \frac{(X_{i} - {\bar{X}}_{n})^{2}}{n - 1}},

$S_n = \sqrt{\sum_{i=1}^n\frac{(X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}} ,$

S_{n}

$S_n$

V a r [S_{n}] \neq 0

$\mathrm{Var}[S_n]\ne0$

0 < V a r [S_{n}] = E [S_{n}^{2}] - E^{2} [S_{n}] \Leftrightarrow E^{2} [S_{n}] < E [S_{n}^{2}] \Leftrightarrow E [S_{n}] < \sqrt{E [S_{n}^{2}]} = σ .

$0 < \mathrm{Var}[S_n] = \mathrm{E}[S_n^2] - \mathrm{E}^2[S_n] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}^2[S_n] < \mathrm{E}[S_n^2] \;\;\Leftrightarrow\;\; \mathrm{E}[S_n] < \sqrt{\mathrm{E}[S_n^2]} =\sigma.$

— 禅
ソース