分布の平均についての瞬間の直感？

なぜp(x)、3番目と4番目のモーメントのような確率分布のより高いモーメントが、それぞれ歪度と尖度に対応するのかについて、誰かが直感を提供できますか？

特に、平均の3乗または4乗の偏差は、なぜ歪度と尖度の測定値に変換されるのですか？これを関数の3次または4次導関数に関連付ける方法はありますか？

尖度のこの定義を考えてみましょう：

$Kurtosis(X) = E[(x - \mu_{X})^4] / \sigma^4$

繰り返しますが、なぜを上げると「凸凹」が生じるのか、またはが歪むのはなぜかは明らかではありません。魔法のようで神秘的です。（X - μ ）$(x-\mu)^4$$(x-\mu)^3$

編集：クイックフォローアップ。尖度のような指標の中央値ではなく、平均についてモーメントを定義することの利点は何ですか？次のような推定量のプロパティは何ですか？

$MedianKurtosis(X) = E[(x - \tilde{x})^4] / \sigma^4$

ここで、は中央値です。これはおそらく、平均を捨てる分布の外れ値の影響をあまり受けず、おそらくピーク度のより公平な尺度になるでしょうか？$\tilde{x}$

これらの定義には正当な理由があります。これは、標準化された確率変数のモーメントの一般的な形式を見ると明らかになります。この質問に答えるには、まず$n$番目の標準化された中心モーメントの一般形を考えます。†$^\dagger$

$$\phi_n = \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg( \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg)^n \text{ } \Bigg].$$

$\phi_1=0$$\phi_2=1$$n \geqslant 3$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \phi_n^+ &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X > \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X > \mathbb{E}[X]), \\[8pt] \phi_n^- &= \mathbb{E} \Bigg[ \Bigg| \frac{X - \mathbb{E}[X]}{\mathbb{S}[X]} \Bigg|^n \text{ } \Bigg| X < \mathbb{E}[X] \Bigg] \cdot \mathbb{P}(X < \mathbb{E}[X]). \end{aligned} \end{equation}$$

これらは、期待値より上または下であることを条件として、標準化された確率変数の番目の絶対パワーを与える非負の量です。ここで、標準化された中心モーメントをこれらの部分に分解します。$n$

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奇数値尾にスキューを測定する：$n$任意の奇数値に対して我々は瞬間式に奇数のパワーを持ち、我々は標準化中心モーメントを書き込むことができるように。この形式から、標準化された中心モーメントは、それぞれ平均より上または下であることを条件として、標準化された確率変数の番目の絶対パワーの差を与えることがわかります。$n \geqslant 3$$\phi_n = \phi_n^+ - \phi_n^-$$n$

したがって、任意の奇数の累乗場合、標準化された確率変数の期待される絶対累乗が平均を下回る値よりも平均を上回る値の場合に正の値を、期待される場合は負の値をメジャーを取得します絶対パワーは、平均を下回る値よりも、平均を上回る値の方が低くなります。これらの量はいずれも、一種の「歪度」の尺度と見なすことができ、指数が高いほど、平均から離れた値に対して相対的な重みが大きくなります。$n \geqslant 3$

この現象はすべての奇数乗で発生するので、「歪度」の典型的な尺度の自然な選択は、としてを定義することです。これは高次のべき乗よりも標準化された中心モーメントが低く、高次モーメントを考慮する前に低次モーメントを探索するのが自然です。統計では、この標準化された中心モーメントを分布のこの側面を測定する最も低い標準化された中心モーメントであるため、歪度と呼ぶ慣例を採用しています。（奇数の累乗が高いほど歪度のタイプも測定されますが、平均から離れた値にますます重点が置かれます。）$n \geqslant 3$$\phi_3$

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偶数の値は、尾の太さを測定し$n$ます任意の偶数の値の、モーメント方程式には偶数乗があるため、標準化された中心モーメントをとして記述できます。この形式から、標準化された中心モーメントは、それぞれ平均より上または下であることを条件として、標準化された確率変数の番目の絶対パワーの合計を与えることがわかります。$n \geqslant 3$$\phi_n = \phi_n^+ + \phi_n^-$$n$

したがって、任意のべき乗場合、非負の値を与える測定値が得られ、標準化された確率変数の分布の裾が太い場合に、より高い値が発生します。これは標準化された確率変数に関する結果であり、スケールの変更（分散の変更）はこのメジャーに影響しないことに注意してください。むしろ、分布の分散を標準化した後、尾の太さの効果的な尺度になります。これらの量のいずれかは、「尖度」のタイプの測定値として合理的に見なすことができ、より高い累乗は、平均から離れた値により大きな相対的重みを与えます。$n \geqslant 3$

この現象はすべての偶数乗で発生するため、尖度の典型的な測度の自然な選択は、を尖度として定義することです。これは、高次のべき乗よりも標準化された中心モーメントが低く、高次モーメントを考慮する前に低次モーメントを探索するのが自然です。統計では、この標準化された中心モーメントを「尖度」と呼ぶ慣習を採用しています。これは、分布のこの側面を測定する最も低い標準化された中心モーメントであるためです。（偶数乗が高いほど、尖度の種類も測定されますが、平均から離れた値にますます重点が置かれます。）$n \geqslant 3$φ 4$\phi_4$

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$^\dagger$この方程式は、最初の2つのモーメントが存在し、分散がゼロでない分布に対して適切に定義されます。残りの分析では、関心のある分布がこのクラスに含まれると想定します。

同様の質問確率分布の「瞬間」について、それほど「瞬間」は何ですか？私は瞬間に対処したものに物理的な答えを出しました。

「角加速度は角速度の導関数であり、時間に対する角度の導関数です。つまり、番目のモーメントは、円運動に適用されるトルクに類似している、またはその円運動（つまり、角度、）の加速/減速（2次導関数も）である場合を考えてください。同様に、3番目のモーメントはトルクの変化率など、さらに高いモーメントの変化率を変化率の変化率の変化率、つまり円運動の逐次微分...$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

これは物理的な例で視覚化する方がおそらく簡単なので、リンクを参照してください。

歪度は尖度よりも理解しやすいです。負の歪度は、右よりも左の裾が大きく（またはさらに負の方向の外れ値）、正の歪度はその反対です。

ウィキペディアはWestfall（2014）を引用しており、データまたは密度の中心傾向が尖度値に比較的ほとんど影響しないと主張しながら、遠い外れ値を持つ確率変数または1つまたは2つの重い裾を持つ密度関数のいずれかに高い尖度が生じることを示唆しています。尖度の値が低い場合は、その逆、つまり、軸の外れ値がなく、両方の尾の相対的な明度が低いことを意味します。$x$