CDFを指定したPDFの計算

PDFが連続確率変数のCDFの1次導関数であり、離散確率変数の差であることを知っています。しかし、これがなぜなのか、なぜ離散と連続の2つの異なるケースがあるのか​​知りたいのですが。

私は少し不正確になりますが、うまくいけば直感的です。

離散確率分布と連続確率分布は異なる方法で処理する必要があります。離散分布の値には、有限の確率があります。公正なコインでは、表の確率は0.5、公正な6面のサイコロ、1の確率は6分の1などです。ただし、連続分布の特定の値の確率はゼロです。無限の数の可能な値から1つだけの値。特定の値の確率が> 0の場合、合計は1になりません。したがって、連続分布では、値の範囲の確率について説明します。

「Sum up to」が質問に答える鍵です。微積分学とその歴史に少しでも精通している場合、積分記号-細長い「S」： int-は特別な種類の総和であることを理解します。ある関数の点と間の値。その関数がPDFである場合、それを統合（合計）してCDFを生成し、逆にCDFを微分（差分）してPDFを取得できます。$\int$$a$$b$

離散的なケースでは、標準の算術合計（したがって、高い 'S'表記ではなく大きな ' '）と算術差分を単純に実行できます。$\Sigma$

違いは、博士号を我慢する必要がなかった人々の利便性と理解のためです。「カウンティングメジャーに関する積分」を導き出して証明するレベル理論コース。これは、離散分布と連続分布の間に本当に違いがないことを示しています。合計は実際には積分であり（@Alexisはすでに述べたように、積分は基本的に合計です）、差は実際には微分です（これは少しわかりやすいです）導関数は、適切にスケーリングされた差です）。

教科書とコースは、違いがないことを示す数学を必要とするよりも、早い段階で教える/理解するほうが簡単なので、それらを異なる方法で扱います。

（少なくとも導入レベルでは）密度という用語は、連続確率変数のみを指します。

離散確率変数には確率質量関数があり、確率関数と呼ばれることもあります（pdfではなく、pmfまたはpf）。これは密度ではなく実際の確率を返します。

一部の確率変数にはどちらもありません（ただし、cdfはまだあります）。

cdfの定義が何であるか（）について考え、次に、どちらの場合でもが少し動くとどうなるかを考えます。$F_X(x) = P(X\leq x)$$x$

ここで、累積分布関数のジャンプは、特定の値がゼロ以外の確率（つまり、あり、差が）であることを示していると考えてください。特定の値のゼロ以外の確率は、pmfが記録するものです。$P(X\leq x)>P(X<x)$$P(X=x)$$x$$p_X(x)=P(X=x)$

（より高度な治療では、区別はなくなります。）

実際、連続分布と離散分布を同様に扱うことができますが、これを行うために、ディラックのデルタ関数、左限界、およびその他の「高度な」概念を導入しました。

したがって、あなたの質問に答える簡単な方法は、離散CDFジャンプであり、それは不連続であるということです。そのため、どこでもそれを区別することはできません。

繰り返しになりますが、デルタ関数を知っていれば、すべてが可能です！