で支持体として全ての有理数を有する離散RVを構成する

これはこの質問の構成主義者の続編です。

区間内のすべての有理数をサポートする離散均一確率変数を使用できない場合、次に最適なものは次のとおりです。 $[0,1]$

確率変数コンストラクトこの支持有する、それが続くこと一部分布。そして、私の職人は、このランダム変数が、取得したいものを抽象的に定義することによって作成されるのではなく、既存の分布から構築されることを要求しています。 $Q$ $Q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

そこで、私は次のことを思いつきました。

LET幾何分布変パラメータとII以下の離散確率変数であり、すなわち、 $X$ $0<p<1$

X \in {0, 1, 2, . . .}, P (X = k) = (1 - p)^{k} p, F_{X} (X) = 1 - (1 - p)^{k + 1}

$X \in \{0,1,2,...\},\;\;\;\; P(X=k) = (1-p)^kp,\;\;\; F_X(X) = 1-(1-p)^{k+1}$

またましょう幾何分布-バリアントI、同一のパラメータでは、次の離散確率変数である、すなわち、 $Y$ $p$

Y \in {1, 2, . . .}, P (Y = k) = (1 - p)^{k - 1} p, F_{Y} (Y) = 1 - (1 - p)^{k}

$Y \in \{1,2,...\},\;\;\;\; P(Y=k) = (1-p)^{k-1}p,\;\;\; F_Y(Y) = 1-(1-p)^k$

$X$ とは独立しています。ランダム変数を定義します $Y$

Q = \frac{X}{Y}

$Q = \frac {X}{Y}$

条件付き分布を検討する

P (Q \leq q ∣ {X \leq Y})

$P(Q\leq q \mid \{X\leq Y\})$

ルーズすなわち「条件の比であるを超えるを条件小さいかより等しい」この条件付き分布のサポートは。 $Q$ $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\{0,1,1/2,1/3,...,1/k,1/(k+1),...,2/3,2/4,...\} = \mathbb{Q}\cap[0,1]$

「質問」とは、誰かが関連する条件付き確率質量関数を提供してもらえますか？

コメントは、「それは閉じた形式であるべきか」と尋ねました。最近閉じた形式を構成するものはそれほど明確ではないので、このように言いましょう：から有理数を入力できる関数形式を検索し、確率（もちろん、パラメータ指定値）、pmfの指示グラフにつながります。次に、を変化させて、グラフがどのように変化するかを確認します。 $[0,1]$ $p$ $p$

それが役立つ場合は、サポートの一方または両方の境界を開くことができますが、これらのバリアントはpmfの上限値や下限値を明確にグラフ化する機能を奪います。また、上限を開いた場合、条件付けイベントを考慮する必要があります。 $\{X<Y\}$

あるいは、pmfと一緒になっている限り、このサポートを持つ他のrvも歓迎します。

Geometric分布を使用したのは、サポートにゼロを含まない2つのバリアントが容易に利用できるためです（ゼロによる除算が回避されるように）。明らかに、何らかの切り捨てを使用して、他の個別のrvを使用できます。

私は間違いなくこの質問に賞金をかけますが、システムはこれをすぐに許可しません。

distributions mathematical-statistics

— アレコスパパドプロス
ソース

を意味しますか？（何かにconditionnally確率変数を定義することは意味がありません、あなただけのこのような方法でその分布を定義することができます）

Q = \frac{X}{Y} 1_{{X \leq Y}}

$Q = \frac {X}{Y} {\boldsymbol 1}_{\{X\leq Y\}}$

— ステファン・ローラン

あなたのQは数えられます：N = {1、2、...}とQの間に1-1の通信が存在することを知っています。そのような通信を見つけることができる場合、解決策はN上の分布を選択して使用することです。 Q.の対応する要素選択する

— エイドリアン

とにかく、すべての既約分数に対してを計算する必要があり、これは。

P r (X / Y = p / q)

$Pr(X/Y=p/q)$

p / q

$p/q$

Pr (X = p, X = 2 p, \dots) \times Pr (Y = q, Y = 2 q, \dots)

$\Pr(X=p, X=2p, \ldots)\times\Pr(Y=q, Y=2q, \ldots)$

— ステファンローラン14年

pmfを提供するという要件は、クローズドフォームが必要であることを意味しますか？または、@StéphaneLaurentの無限和は条件を満たすのに十分ですか？

— ジュホコッカラ

してみましょうあなたのポストでRVおよびY。

f : N \to Q \cap [0, 1]

$f: N \rightarrow \mathbb{Q}\cap[0,1]$

P r [Q = q] = P r [Y = f^{- 1} (q)]

$Pr[Q =q] = Pr[Y = f^{-1}(q)]$

— エイドリアン14年

回答:

確率質量を持つ集合をサポートする離散分布を考えます $F$ $\{(p,q)\,|\, q \ge p \ge 1\}\subset \mathbb{N}^2$

F (p, q) = \frac{3}{2^{1 + p + q}} .

$F(p,q) = \frac{3}{2^{1+p+q}}.$

これは簡単に合計され（関係するすべての系列は幾何学的です）、それが実際に分布であることを示します（合計確率は1です）。

ゼロ以外の有理数、を最低用語で表現します。つまり、およびです。 $x$ $a/b=x$ $b\gt 0$ $\gcd(a,b)=1$

$F$ は、ルールを介して離散分布を誘導します $G$ $[0,1]\cap \mathbb{Q}$

G (x) = G (\frac{a}{b}) = \sum_{n = 1}^{\infty} F (a n, b n) = \frac{3}{2^{1 + a + b} - 2} .

$G(x) = G\left(\frac{a}{b}\right) = \sum_{n=1}^\infty F\left(an, bn\right)=\frac{3}{2^{1+a+b}-2}.$

（および）。 すべての有理数の確率はゼロではありません（正の確率を持つ値に含める必要がある場合は、ような別の数から確率を取り除いて割り当ててください）。 $G(0)=0$ $(0,1]$ $0$ $1$ $0$

この構造を理解するには、次の描写を見てください。 $F$

[Fの図]

$F$ は、正の積分座標を持つすべての点で確率質量を与えます。値は、円形シンボルの色付き領域で表されます。線は、プロットに表示される座標とすべての可能な組み合わせに対して勾配を持ちます。それらは、円形シンボルと同じように色付けされます：傾斜に応じて。したがって、（明確の範囲で傾きを介して）とカラー対応する引数のの値と各ライン上に位置するすべての円の面積を合計することによって得られます。たとえば、 $p,q$ $F$ $p/q$ $p$ $q$ $0$ $1$ $G$ $G$ $G(1)$ =で与えられる、勾配主対角線に沿ったすべての（赤）円の面積を合計することにより得られます。 $1$ $F(1,1)+F(2,2)+F(3,3)+\cdots$ $3/8 + 3/32 + 3/128 + \cdots = 1/2$

この図に示すには、近似制限することによって達成それは時にその値をプロット：の範囲の有理数を通じて。最大の確率質量は、。 $G$ $q\le 100$ $3044$ $1/100$ $1$ $\frac{1}{2},\frac{3}{14},\frac{1}{10},\frac{3}{62},\frac{3}{62},\frac{1}{42},\ldots$

の完全なCDFは次のとおりです（画像の解像度に正確です）。上記の6つの数値は、目に見えるジャンプのサイズを示していますが、CDFのすべての部分は例外なくジャンプで構成されています。 $G$

— ウーバー
ソース

ありがとう！私は構造を理解する過程にいます。質問は2つだけです。a ）は2変量ですが、にリンクする式では1変量として表示されます。何か不足していますか？b）は単変量なので、印象的に見える最初のグラフのすべてのドットは水平軸上の異なる値を表していると思います（もちろん、これはそのようなスケールで忠実に表すことはできませんが）。

F

$F$

G

$G$

G

$G$

— アレコスパパドプロス14年

私はあなたのコメント、Alecosに対処するかもしれない図を完成させていました、そしてそれを答えに加えました。私が始めていることに留意されたい任意の離散分布と構築同じように。この特定の分布は、計算を簡単にするために選択されました。

F

$F$

G

$G$

— whuber

どんどん良くなります。前のコメントの最初の質問に関しては、ではなくにすべきですか？すなわち、およびですか？

F (\frac{a}{b}, n)

$F\left(\frac ab,n\right)$

F (\frac{a}{b} n)

$F\left(\frac abn\right)$

p = a / b

$p=a/b$

q = n

$q=n$

— アレコスパパドプロ14

これは私のものよりも良い答えです！私は2つの小さなことに気づきました：あなたのF（p、q）の合計は書かれているように4になると思います。また、以下の方程式では、「Fは離散分布Gを誘導します」では、F（na、nb）noが必要です。

— エイドリアン

@エイドリアン、アレコスこれらのタイプミスを見つけてくれてありがとう：はなければならず、の表記は明らかに間違っています。すぐに修正します。

1

$1$

- 1

$-1$

F

$F$

— whuber

コメントをまとめて、わかりやすくするために回答として投稿します。しかし、私はあなたの問題を別の問題に還元するだけなので、あなたはあまり満足しないでしょう。

私の表記法：

$Q$ そのサポートであるRVです -私のありませんと同じ彼からOP構文。以下で紹介するとを使用してこのを定義します。 $\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $Q$ $Q$ $\frac{X}{Y}$ $Q$ $Y$ $f$

$Y$ 、その支持体である任意のRVである - OPによって与えられ、例えば、働くだろう。 $\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$ $Y$

$f$ は1対1の対応あり、はその逆です。これらが存在することはわかっています。 $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}\cap\left[0,1\right]$ $f^{-1}$

今、私はあなたの問題を単にとその見つけることに減らすことができると主張しています： $f$ $f^{-1}$

ただ、聞かせて、あなたが行われています。のPMF はです。 $Q=f\left(Y\right)$ $Q$ $\Pr[Q =q] = \Pr[Y = f^{-1}(q)]$

編集：

（重複のため）1対1の対応ではないにもかかわらず、の役割を果たす関数gは次のとおりです。 $f$

g <- function(y) {
    y <- as.integer(y)
    stopifnot(y >= 1)
    b <- 0
    a <- 0
    for (unused_index in seq(1, y)) {
        if (a >= b) {
            b <- b+1
            a <- 0
        } else {
            a <- a+1
        }
    }
    return(sprintf("q = %s / %s", a, b))
    ## return(a / b)
}

— エイドリアン
ソース

（+1）いいえ、あなたのアプローチは、非常に適用可能な結果とアルゴリズムに到達するために、抽象的なアプローチをどのように考えて使用できるかの良い例だと思います。私が今理解している主な点は、をサポートする任意の離散分布のpmfを関数形式として使用することにより、望ましい構成を得ることができるということです。。もちろん、とを見つけることは残っています。あなたが私よりもこのアプローチをよく理解しているので、「これらが存在することを知っている」というフレーズは「しかし、それらがどのように見えるかわからない」と言う丁寧な方法ですか？:)

N \equiv {1, 2, \dots}

$\mathbb{N}\equiv\left\{1, 2, \ldots\right\}$

f

$f$

f^{- 1}

$f^{-1}$

— アレコスパパドプロ14

jcu.edu/math/vignettes/infinity.htmを参照してください。同様の「対角パターン」を使用できます。難しいのは、式を取得することです。私はそれを行う方法がわかりませんが、math.stackexchange.comで尋ねることができます（または最初にいくつかのグーグル検索を行う）。

f^{- 1}

$f^{-1}$

— エイドリアン14年

あなたが提供したリンクでは、ある時点で「通信の公式を見つける必要はないことに注意してください。必要なのは、そのような通信が存在する確実性だけです。 -ここでのポイントは、実際に式を提示するのではなく、何かが起こらなければならないこと、または何かが存在することを示すことです。」まあ、私の質問のポイントは、実際に式を提示することです：私は理由のためにこの質問を「構成主義者」と呼びました。

— アレコスパパドプロ

機能するアルゴリズムを提供できると思います。もう少し考えます。

— エイドリアン14年

Qをシミュレートできますが、PMFの問題は解決しません。

— エイドリアン14年