閉区間内のすべての有理値をとる離散一様確率変数（？）

（知的）パニック発作を起こしました。

• 閉じた間隔ユニフォームに続く連続ランダム変数：快適におなじみの統計的概念。 $U(a,b)$
• 拡張実数（半分または全体）をサポートする連続した均一なrv：適切なrvではなく、不適切な事前の有用で適用可能な基本的なベイジアン概念。
• 有限数の値を取る離散ユニフォーム：測地線ドームを投げましょう、大したことはありません。

しかし、整数境界（必要に応じて始まる）の閉区間に含まれるすべての有理数をドメインとして持つ関数はどうでしょうか。そして、可能性のある各値が他のすべての値と等しい確率を持つことを要求する、確率論的な枠組みでそれを使用したいのですか？$[0,1]$

可能な値の数は数え切れないほど無限です（多くの離散分布を特徴づけます）が、確率を等しくしたい場合、単一の値の確率をどのように表現するのでしょうか？

そのようなエンティティがランダム変数であることを証明することはできますか？

そうでない場合、これは「不適切な事前」の別の化身（おそらくすでによく知られている）ですか？

このエンティティは、明確に定義された意味ではありますが、連続した均一なrvと特別に「同等」である可能性はありますか？それとも私は枢機inalの罪を犯したのですか？

ドメインが閉じた間隔であるという事実は、私が手放すことができないようです。通常、制限されたものは管理可能です。

質問は、内部の大渦を示すために多くあります。私はそれらのそれぞれに答えを得ることを求めていません。

私は洞察を思いつくかもしれないときはいつでも、私は更新します。

更新：現在の質問は、構成主義者の続編をここで取得したばかりです。

この「ランダム変数」は、実際のライン全体にフラットな事前分布を持つという考えに似ています（2番目の例）。

全くランダムな変数が存在することができないことを示すために、ように、P （X = Q ）= C全てについてのq ∈ Q ∩ [ 0 、1 ]と定数C、我々が使用σの可算組合：確率変数の-additive性を互いに素なイベントの確率は、イベントの確率の（おそらく無限の）合計に等しい。それで、もしC = 0、確率P （X ∈ Q ∩ [ 0 、1 $X$$P(X=q)=c$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$$c$$\sigma$$c=0$、これは数え切れないほどのゼロの合計です。もし C > 0、次いで P （X ∈ Q ∩ [ 0 、1 ] ）= ∞。ただしの値をとる適切な確率変数 Q ∩ [ 0 、1 ]ようなものでなければならない P （X ∈ Q ∩ [ 0 、1 ] ）= 1、そうそのような確率変数が存在しません。$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=0$$c>0$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=\infty$$\mathbb{Q}\cap[0,1]$$P(X\in\mathbb{Q}\cap[0,1])=1$

既にご存知かもしれませんが、ここで重要なのは、スペースが有限数のポイントで構成されている場合、を使用して合計に問題はなく、スペースに数え切れないほど多くのポイントがある場合、c = 0であり、空間上で積分するときにσ加法性は違反されません。これは、数えられるものに関するステートメントであるためです。ただし、数え切れないほどのセットで均一な分布が必要な場合は問題が発生します。$c>0$$c=0$$\sigma$

ベイズ前の文脈では、かかわらず、あなたはもちろん、ちょうどと言うことができるすべてのためのq ∈ Q ∩ [ 0 、1 ]不適切な前を使用するにしているが喜んでいる場合。$P(X=q)\propto 1$$q\in \mathbb{Q}\cap[0,1]$

より肯定的な事実は次のとおりです。
確率測度が可算加法であるという要件を廃止し、代わりに、有限加法であるというだけで（この質問のために）、有理数についての答えは「はい」です。
有理数は、一つは、2つの有理数を追加することができるので、中性元素、ゼロであり、添加物基であり、任意反数有する- Z ∈ Qを。 これで、有理数に離散トポロジーを装備して、それらが離散グループになるようにすることができます。（これは重要です。他のコンテキストでは、そうしないで別のトポロジを配置しないほうが便利だからです。）$z\in\mathbb{Q}$$-z\in\mathbb{Q}$

離散グループとして見た場合、それらは数え切れないほどの有理数しかないため、可算離散グループですらあります。
また、有理数の任意のペアに対してため、それらはアーベル群です。 現在、有理数は、可算の個別のグループと見なされ、従順なグループです。従順な個別グループの定義については、こちらをご覧ください。ここでは、すべての可算アーベル離散群が従順であることを示しています。特に、これは有理数のグループに適用されます。 したがって、従順な離散グループのまさに定義により、有限加法的確率測度μが存在します。$z +y =y+z$

$\mu$その意味、翻訳不変である有理数上の任意のサブセットのためのA ⊂ Qと任意の有理数Z ∈ Qを。 このプロパティには、「均一性」を定義する直感的な方法が含まれます。μ：必ずしもすべての有限のサブセット上で消失μ （{ Z } ）= 0全てについてのz ∈ Q。$\mu(z + A) = \mu(A)$$A\subset\mathbb{Q}$$z\in\mathbb{Q}$

$\mu$$\mu(\{z\})=0$$z\in\mathbb{Q}$
確率測度ではなくランダム変数を求める場合は、確率空間の単位関数のみを考慮してください。これにより、このような必要なランダム変数が得られます。 したがって、確率測定の定義を少し緩めると、有理数に対する肯定的な答えになります。 おそらく、μの存在は少し直感に反しているようです。μのより良い考えは、変換不変性の直接的な結果は、階数が偶数であるすべての有理数の尺度が半分であることを考慮することで得られます。また、奇数階の階級の尺度は半分です。μを 測る$(\mathbb{Q}, \mu)$

$\mu$$\mu$
$\mu$存在することを示しただけでなく、すべての有界なサブセット（同様の引数で示すことができるように）、特に単位間隔で必ず消えます。
したがって、は単位区間内の有理数の答えをすぐには返しません。すべての有理数よりも単位区間の有理数の方が答えは簡単だと思う人もいるかもしれませんが、逆のように思えます。 （ただし、同様の特性を持つ単位区間の有理数の確率尺度を作成することもできますが、答えには「均一性」のより正確な定義が必要になります-「翻訳-変換が単位間隔外にならない場合は常に不変です。）$\mu$

更新：合理的なものからマップする単位間隔の合理性へのマップに沿って、構築した合理的なもののプッシュフォワード測定を考慮することにより、その意味で均一な単位間隔の合理的な測定をすぐに取得します各小数部に合理的。
したがって、要件を有限加法性に緩和した後、前述の両方のケースでそのような測定値を取得します。