デジタルアプリケーションでの連続詩離散ウェーブレット変換の使用

私は、ウェーブレットの背後にある数学的な背景の多くに精通しています。しかし、ウェーブレットを使用してコンピューターにアルゴリズムを実装する場合、連続ウェーブレットを使用すべきか、離散ウェーブレットを使用すべきかについてはあまり確信がありません。すべての現実では、コンピューター上のすべてがもちろん離散的であるため、離散ウェーブレットがデジタル信号処理に適していることは明らかです。ただし、ウィキペディアによれば、主に（デジタル）画像圧縮や他の多数のデジタルデータ処理アクティビティで使用されるのは、連続ウェーブレット変換です。デジタル画像または信号処理に（正確な）離散ウェーブレット変換の代わりに（近似）連続ウェーブレット変換を使用するかどうかを決定する際に考慮すべき長所と短所は何ですか？

PS（ここで仮定を確認）等間隔の点で連続ウェーブレットの値を取得し、結果のシーケンスをウェーブレット計算に使用することにより、連続ウェーブレット変換がデジタル処理で使用されると想定しています。これは正しいです？

PPS通常、ウィキペディアは数学についてかなり正確なので、連続ウェーブレット変換に関する記事のアプリケーションは実際には連続ウェーブレット変換のアプリケーションであると想定しています。確かに、特にCWTであるものに言及しているため、デジタルアプリケーションでのCWTの使用が明らかに存在します。

モハンマドがすでに述べたように、連続ウェーブレット変換（CWT）および離散ウェーブレット変換（DWT）という用語は少し誤解を招くものです。それらは（連続）フーリエ変換（数学積分変換）としてDFT（離散フーリエ変換）にほぼ関連しています。

詳細を理解するためには、歴史的背景を見ることは良いことです。ウェーブレット変換は、元々Morletによって地球物理学で導入されたもので、基本的には選択されたスケール/周波数に合わせて拡大/縮小するウィンドウを備えたガボール変換でした。後にダウブシーズ（ベルギーの物理学者）は、特別な直交ウェーブレットベースを選択することにより、2重グリッドで無限に冗長なCWTを批判的にサンプリングできることに気付きました。結果のDWTから、対応する完全なCWTは、DWTをそれぞれのウェーブレットの再生カーネルと畳み込むことによって取得できます。再生カーネルは、ウェーブレット自体のCWTです。

Daubchiesの発見は80年代初期のウェーブレット理論を大きく後押ししました。次の大きな結果は、フィルターバンクの理論、つまりダウンサンプリングフィルターバンクと組み合わせた直交ミラーフィルター（QMF）の手法を使用して、DWTを非常に効率的に計算できることです（これはFWT [高速WT]とも呼ばれます）。特別なQMFを構築することにより、対応するDWTをフィルタリングとダウンサンプリングを介して計算できます。これは、今日のDWTを計算するための最先端のアルゴリズムです。DWTを計算するためにスケーリング関数は必要ありません。これは、FWTが処理する実装の詳細にすぎません。

アプリケーション側に関しては、CWTはよりきめ細かい解像度のため、信号または時系列分析のより理想的な候補であり、通常、ほとんどのタスク（特異点検出など）で選択されます。DWTは、高速な非冗長変換のコンテキストでより重要です。DWTは非常に優れたエネルギー圧縮機能を備えているため、損失の多い圧縮や信号伝送の優れた候補です。

物事が明確になることを願っています。

ウェーブレットの分野における非常に一般的でありながら不幸な誤解は、「連続ウェーブレット変換」の不適切な用語に関係しています。

まず最初に：連続ウェーブレット変換（CWT）と離散ウェーブレット変換（DWT）は、どちらもコンピューター上で簡単に実装できるポイントごとのデジタル変換です。

ウェーブレットコンテキストでの「連続」変換と「離散」変換の違いは、次の点にあります。

1）信号をウェーブレットと相互相関させるときにスキップされるサンプルの数。

2）ウェーブレットを拡張するときにスキップされるサンプルの数。

3）CWTはウェーブレットのみを使用しますが、DWTはウェーブレットとスケールレットの両方を使用します。（この議論には重要ではありませんが、完全性のためにここにあります）。

ただし、間違えないでください。CWT は、DWTと同じように、常に個別のデジタル操作です。

この例を見てみましょう。Haarウェーブレット[1 -1]を考えてみましょう。Haar Waveletを使用してDWTを実行したいとします。そのため、Haarのマザーウェーブレット[1 -1]を使用して信号を畳み込みますが、ダイアディック遅延のみです。たとえば、信号が次のベクトルであるとします。

Haar WaveletとのDWT畳み込みの最初の結果は次のとおりです。

次は：

そして最後に最後のものは：

何かおかしいと思いますか？私はあなたの信号とウェーブレットのコンボリューションを取ると言ったのですが、どうして私は4つの値しか得られないのでしょうか？これはスキップするからです、DWTで畳み込みを行うときにサンプルです。最初に[1 2]を取り、ドット積を取り、次に[3 4]を取りました。[2 3]はどうなりましたか？スキップしました。

いつスキップしませんか？CWTを実行するとき。CWTを実行した場合、Haarウェーブレットを使用した信号の「通常の」デジタル畳み込みになります。

2つ目は、ウェーブレットを拡張する方法です。上の例では、Haar Waveletは第1レベルの分解に対して[1 -1]です。2番目のレベルでは、DWT Haarウェーブレットは[1 1 -1 -1]になります。ただし、CWTでは、第2レベルのHaarウェーブレットは[1 0 -1]です。繰り返しになりますが、DWTでは、ポイントごとに拡張していません。3つの長さのウェーブレットはありません。ただし、CWTでは、長さ2から長さ3に進みます。DWTでは、長さ2から長さ4にまっすぐ進みました。

これは長短であり、これが役立ったことを願っています。